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moin,
zuerst mal: ich weiß, der Titel ist recht nichtssagend und passt auch nur bedingt zu der Frage, die ich gleich Stelle, mir ist nur kein besserer eingefallen.^^
Zuerst mal zum Setting:
Wir haben $K = [mm] \IF_q$ [/mm] einen endlichen Körper ($q$ Primzahlpotenz und so) sowie $F = [mm] \IF_{q^n}$ [/mm] eine $n-$dimensionale Erweiterung von $K$.
Wir wählen uns $g = [mm] (g_1,g_2,\ldots, g_m) \in F^m$ [/mm] so, dass die [mm] $g_i$ [/mm] über $K$ linear unabhängig sind (insbesondere sind alle ungleich $0$ und $m [mm] \leq [/mm] n$) und normieren so, dass [mm] $g_1 [/mm] = 1$ gilt.
Dann definieren wir eindimensionale $F-$Vektorräume [mm] $V_i$ [/mm] durch
[mm] $$V_i [/mm] := [mm] \langle g^{q^i}\rangle_F$$
[/mm]
wobei der $i-$fache Frobenius hier eintragsweise auf $g$ angewandt wird.
Schließlich setzen wir
$$V := [mm] \bigoplus_{i=0}^{l-1} V_i$$
[/mm]
wobei $l < m$, damit $V$ nicht der ganze [mm] $F^m$ [/mm] ist.
Wer mag darf sich jetzt schonmal an Gabidulin-Codes erinnert fühlen, muss aber nicht. :)
Als letzten Schritt fixieren wir eine $K-$Basis $B$ von $F$ und schreiben die Elemente aus [mm] $F^m$ [/mm] spaltenweise in dieser Basis. Dies liefert uns Elemente von [mm] $K^{n \times m}$.
[/mm]
Wenden wir das ganze auf die [mm] $V_i$ [/mm] an und nennen die Resultate jeweils [mm] $W_i$, [/mm] so erhalten wir einen $K-$Vektorraum
$$W := [mm] \bigoplus_{i=0}^{l-1} W_i \leq K^{n \times m}$$
[/mm]
der Dimension $ln$.
So, langes Setting, nun kommt die eigentliche zu zeigende Aussage:
Sei $X [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] so, dass $XW [mm] \leq [/mm] W$. Dann gilt [mm] $XW_i \leq W_i$ [/mm] für alle $i$.
Und wem das zu langweilig ist, für den gibts auch noch eine stärkere Aussage:
Seien $X [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] und $Y [mm] \in K^{m \times m}$ [/mm] so, dass $XWY [mm] \leq [/mm] W.$ Dann gilt $XW_iY [mm] \leq W_i$ [/mm] für alle $i$.
Ich bastle schon seit einiger Zeit an diesen Aussagen, drehe mich aber die ganze Zeit im Kreis, sodass ich über jedwege Hilfe sehr dankbar wäre.
Ich hab schon einige Beispiele durchgerechnet und es scheint zu stimmen; ich konnte das ganze auch schon in Spezialfällen (zB wenn $g$ eine $K-$Basis eines Zwischenkörpers ist) beweisen, nur der allgemeine Fall will mir einfach nicht gelingen.
Eine äquivalente Aussage zur ersten Aussage, die ich gefunden habe, ist:
Ist $XW [mm] \leq [/mm] W$, so gilt [mm] $g_i\cdot [/mm] X = X [mm] \cdot g_i$ [/mm] für alle $i$. Hierbei sind die [mm] $g_i$ [/mm] bezüglich obiger Basis $B$ in [mm] $K^{n \times n}$ [/mm] eingebettet.
Hierbei wichtig: man braucht wirklich [mm] $g_1 [/mm] = 1$, sonst ist dies nicht äquivalent zu obiger Aussage.
Also, wenn jemand eine Idee dafür hat, ein Paper kennt, wo etwas brauchbares dafür thematisiert wird oder (was ich mal nicht hoffe^^) ein Gegenbeispiel kennt, immer her damit. :)
lg
Schadow
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