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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 So 29.05.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Geben Sie eine Zerlegung des [mm] \IR^4 [/mm] als direkte Summe von bezüglich [mm] \emptyset( [/mm] das soll ein phi sein) zyklischen Untervektorräumen an.
A:= [mm] \pmat{ 1 & 0& -1 & 1 \\ 1 & 0& -1 & 1 \\ 0 & 1& -1 &1 \\ 0&0&0&0 } [/mm] |
Kann ich hier die Jordan Normalfrom anweden oder was muss ich hier machen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Mo 30.05.2011 | | Autor: | sissenge |
kann mir keiner helfen??? Bitte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mo 30.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Geben Sie eine Zerlegung des [mm]\IR^4[/mm] als direkte Summe von
> bezüglich [mm]\emptyset([/mm] das soll ein phi sein) zyklischen
Du meinst [mm] $\varphi$ [/mm] oder [mm] $\phi$.
[/mm]
> Untervektorräumen an.
>
> A:= [mm]\pmat{ 1 & 0& -1 & 1 \\ 1 & 0& -1 & 1 \\ 0 & 1& -1 &1 \\ 0&0&0&0 }[/mm]
Ich vermute mal, [mm] $\phi(x) [/mm] = A x$ fuer $x [mm] \in \IR^4$?
[/mm]
> Kann ich hier die Jordan Normalfrom anweden oder was muss
> ich hier machen??
Nun, eine Basis bzgl. der $A$ in JNF ist hilft dir weiter. Weisst du auch inwiefern?
Wenn nicht, schau dir mal so einen Jordanblock an, sagen wir $B = [mm] \pmat{5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5}$, [/mm] und den Vektor $v = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }$. [/mm] Berechne mal $B v$, [mm] $B^2 [/mm] v$, und dann [mm] $\langle [/mm] v, B v, B [mm] v^2 \rangle$. [/mm] Das ist ein [mm] $\psi$-zyklischer [/mm] UVR von [mm] $\IR^3$, [/mm] wenn [mm] $\psi(x) [/mm] = B x$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mo 30.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ok...
dann bräcuhte ich aber noch ein bisschen Hilfe bei der Jordan Normalform.
Also ich muss als erstes das charakteristische Polynom und die eigenwerte berechnen. Und dann??
Oder gibt es einen Trick, wie man das leichter "sehen" kann??
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> ok...
> dann bräcuhte ich aber noch ein bisschen Hilfe bei der
> Jordan Normalform.
> Also ich muss als erstes das charakteristische Polynom und
> die eigenwerte berechnen. Und dann??
Hallo,
dann könntest Du mal ![[]](/images/popup.gif) das da anschauen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
also ich habe jetzt im G. Fischer "Lineare Algebra" eine Lösung gefunden (denke ich), die ich gerne verstehen würde.
Und zwar steht da:
Gegeben sie die Matrix B:= [mm] \pmat{ 0 & 1& 3 \\ 0 & 0&2\\ 0&0&0 } [/mm] mit
[mm] B^2:= \pmat{ 0 & 0&2 \\ 0 & 0&0\\0&0&0 } [/mm] und [mm] B^3=0
[/mm]
soweit versteh ich das ja noch :D
Es ist also d=3 und für [mm] U_{l}:= KerB^l [/mm] gilt was ist denn jetzt U???
[mm] {0}=U_{0}\subsetU_{1} [/mm] = span [mm] e_{1} \subset U_{2} =span(e1,e2)\subsetU_{3} =R^3
[/mm]
das versteh ich gar nicht mehr
Aus der Bedingung [mm] R^3 [/mm] = [mm] U_{2} \oplus W_{3} [/mm] was ist denn jetzt W?? Ansonsten ist es ja einfach nur eine Definition
folgt, dass wir [mm] W_{3} [/mm] =span e3 wählen können wieso kann man das wählen??
Somit ist [mm] s_{3} [/mm] = 1 Was ist s ???
Aus [mm] R^3 [/mm] = [mm] U_{0} \oplus W_{1} \oplus W_{2} \oplus W_{3}
[/mm]
Der gesuchte Basisvektor von [mm] W_{1} [/mm] ist [mm] B^2 [/mm] e3 = B (3,2,0) = 2e1 wie kommt man darauf?? somit ist [mm] s_{1} [/mm] = 0 ????
Trägt man gefundene Basisvektoren in der richtigen Reihenfolge als Spalten in eine Matrixein, so erhält man T^-1 und darauf T
Das ergibt die Jordanmatrix TBT^-1
Also für die Lösung meiner Aufgabe muss ich ja auch die direkten summen aufstellen können und die entsprechenden Untervektorräume herausfinden. Allerdings versteh ich leider die ganzen Folgerungen die in der Rechnung vorkommen nicht, ich habe ja immer dahinter geschrieben was ich nicht verstehe, wäre toll wenn mir jemand helfen würde!!
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Hallo,
die Dir vorliegende Lösung bezieht sich mit ihren Bezeichnungen sicher auf einen konstruktiven Satz/Beweis, welcher vorangeht.
Ich vermute, daß sich bei dessen gründlichem Studium die meisten der Fragen klären.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 02.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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