direkte Summe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Do 27.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Tja der Betreff sagt eigentlich schon alles. Was ist die direkte Summe? Wäre schön wenn ihr mir ein paar brauchbare Links zu Definitionen geben könnt denn ich kann mit der in meinem Skriptum so gar nichts anfangen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Do 27.01.2005 | | Autor: | pjoas |
Die Summe zweier oder mehrer Vektorraeume U1, U2 ist die Menge aller u1+u2 mit u1 aus U1 und u2 aus U2. Dieses Gebilde ergibt einen neuen Vektorraum. Sind die Räume U1 und U2 bis auf das Nullelement schnittfrei, so heist die Summe auch direkt.
In diesem Fall gilt sogar dim(U1+U2) = dim(U1) + dim(U2).
Ähnliche Konstrukte lassen sich auch mit anderen algebraischen Strukturen durchführen.
sorry - dass ich noch keine TeX-Elemente benutze... muss mich da erst richtig einlesen ;)
Gruß, Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Do 27.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke für die verständliche Erklärung. Jetzt hätte ich aber noch eine andere Frage. Was heißt dim? bzw. was kann man sich darunter vorstellen?
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Hallo!
> Danke für die verständliche Erklärung. Jetzt hätte ich aber
> noch eine andere Frage. Was heißt dim? bzw. was kann man
> sich darunter vorstellen?
"dim" bedeutet Dimension.
Die Dimension eines Vektorraumes ist die Anzahl der Basisvektoren. So besitzt der [mm] \IR^2 [/mm] beispielsweise 2 Basisvektoren und ist somit zweidimensional (oder "hat Dimension 2" oder [mm] dim(\IR^2)=2), [/mm] der [mm] \IR^3 [/mm] besitzt 3 Basisvektoren und ist somit dreidimensional usw.. (Du weißt ja wahrscheinlich, dass die Anzahl der Basisvektoren immer gleich ist, egal, welche Basis man wählt.)
Die Formel, die in der vorigen Antwort gegeben wurde, ist eine Spezialformel, die eben nur für eine direkte Summe gilt, für eine "normale" Summe ist die Formel folgende:
[mm] dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U\cap [/mm] V)
da bei einer direkten Summe aber [mm] \dim(U\cap [/mm] V)=0 ist, entfällt dieser Teil in diesem speziellen Fall.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo Hannes!
Übrigens wäre es schön, wenn du auch mal eine Anrede schreiben würdest... 
> Tja der Betreff sagt eigentlich schon alles. Was ist die
> direkte Summe? Wäre schön wenn ihr mir ein paar brauchbare
> Links zu Definitionen geben könnt denn ich kann mit der in
> meinem Skriptum so gar nichts anfangen.
Hier mal eine formale Definition (allerdings vermute ich, dass du eine ähnliche im Skript stehen hast, was verstehst du daran denn nicht?):
Sind [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Unterräume des Vektorraumes V, so spricht man von der direkten Summe der Unterräume, falls [mm] U_1\cap U_2=\{0\} [/mm] (die 0 muss vorhanden sein, sonst fehlt das neutrale Elemente der Addition...), man schreibt:
[mm] U_1\oplus U_2:=\{u_1+u_2|u_1\in U_1 \;und\; u_2\in U_2\}.
[/mm]
In diesem Fall ist die Darstellung eines Vektors [mm] x=u_1+u_2 [/mm] eindeutig.
Verstehst du diese Definition? Oder wo hakt es?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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