dimension und gleichheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mo 30.01.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, irgendwie habe ich in büchern der linearen algebra oft das gefühl das aus V,W Vektorräume mit dim V=dim W direckt gefolgert wird, V=W. ist das so? wenn ja kann mir bitte einer sagen warum und wenn nicht, gibt es da einen ähnlichen zusammenhang?
wäre nett, wenn mir einer diese last vom herzen nimmt +g+... gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo AriR!
Aus $dim(V)=dim(W)$ alleine folgt natürlich nicht $V=W$. Man muss dann schon noch $V [mm] \subset [/mm] W$ oder $W [mm] \subset [/mm] V$ voraussetzen. Weiterhin gilt diese Folgerung nur für endlichdimensionale Vektorräume.
Es gelte nun $V [mm] \subset [/mm] W$ und $dim(V) = dim(W) < [mm] \infty$.
[/mm]
Wähle eine Basis von $V$. Diese ist dann nach den Voraussetzungen auch eine Basis von $W$, fertig.
(Bei unendlichdimensionalen Vektorräumen ist diese Folgerung falsch. Zwar ist dann eine Basis von $V$ eine linear unabhängige Familie in $W$, aber nicht notwendigerweise auch ein Erzeugendensystem.)
Liebe Grüße
Stefan
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