dimension und basis von v-raum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrechten im Vektorraum [mm] R^2 [/mm] den Unterraum
[mm] G={\vektor{x_1 \\ x_2} \in R^2 | x_1 + x_2 = 0}
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die Dimension von G und geben Sie eine Basis von G an.
(b) Es sei [mm] f:R^2 \to R^2 [/mm] die lineare Abbildung, die einen Punkt zuerst an G und dann an der [mm] x_1 [/mm] Achse spiegelt. Bestimmen Sie die Matrix A, so dass f=A. (also f die lineare Standard Abbildung zu A ist) |
Bei der a würde ich sagen, dass eine Basis [mm] \vektor{x \\ -x} [/mm] sein könnte. Damit wäre der Unterraum ja eindimensional.
Aber nun meine Frage: Wenn das stimmt, wieso könnte es nicht auch [mm] \vektor{x \\ 0}, \vektor{0 \\ -x} [/mm] sein? Damit wäre es ja zweidimensional. Wie erkenne ich da den Unterschied?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Di 17.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrechten im Vektorraum [mm]R^2[/mm] den Unterraum
>
> [mm]G={\vektor{x_1 \\ x_2} \in R^2 | x_1 + x_2 = 0}[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie die Dimension von G und geben Sie eine
> Basis von G an.
> (b) Es sei [mm]f:R^2 \to R^2[/mm] die lineare Abbildung, die einen
> Punkt zuerst an G und dann an der [mm]x_1[/mm] Achse spiegelt.
> Bestimmen Sie die Matrix A, so dass f=A. (also f die
> lineare Standard Abbildung zu A ist)
> Bei der a würde ich sagen, dass eine Basis [mm]\vektor{x \\ -x}[/mm]
> sein könnte. Damit wäre der Unterraum ja eindimensional.
Besser/richtig ist:{ [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] } ist eine Basis
> Aber nun meine Frage: Wenn das stimmt, wieso könnte es
> nicht auch [mm]\vektor{x \\ 0}, \vektor{0 \\ -x}[/mm] sein? Damit
> wäre es ja zweidimensional. Wie erkenne ich da den
> Unterschied?
{ [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0\\ -1} [/mm] } ist natürlich keine Basis von G, da
{ [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0\\ -1} [/mm] } eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ist
FRED
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Okay, danke.
Wie kann ich an die b rangehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Di 17.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ueberleg dir (oder zeichne) das Bild der 2 Standardbasisvektoren.
Die Bilder der Basisvektoren sind immer die Spaltenvektoren der Matrix. (ueberleg mal warum!)
Gruss leduart
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Das Bild der 2 Standardbasisvektoren wäre doch einfach wie das Koordinatensystem des [mm] R^2, [/mm] oder?
Ich versteh die Aufgabe irgendwie gar nicht.
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> Das Bild der 2 Standardbasisvektoren wäre doch einfach wie
> das Koordinatensystem des [mm]R^2,[/mm] oder?
> Ich versteh die Aufgabe irgendwie gar nicht.
Hallo,
Du hattest zuvor festgestellt, daß G= [mm] <\vektor{1\\-1}> [/mm] ist, also eine gerade.
In Aufgabe b) geht es um die Abbildung, die sich aus einer Spiegelung an G , gefolgt von einer Spiegelung an der 1.Koordinatenachse, zusammensetzt.
Hast Du bereits beide Spiegelachsen gezeichnet?
Gesucht ist nun die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardvektoren. Das ist die Matrix, die - wie bereits von leduart gesagt - die Bilder der Standardbasis in den Spalten enthält.
Es kommt nun also darauf an, die Bilder von [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1} [/mm] zu bestimmen.
Auf welchen Vektor wird [mm] \vektor{1\\0} [/mm] durch Spiegelung an G abgebildet? Was tut die Anschließende Spiegelung an der [mm] x_1-Achse [/mm] mit dem Ergebnis?
Für [mm] \vektor{0\\1} [/mm] genauso.
Gruß v. Angela
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