dim V = dim W isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:11 So 19.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Es seien V und W zwei reelle Vektorräume mit dim(V)=dim(W) < [mm] \infty, [/mm] sowie
f: V --> W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i)Die Abbildung f ist injektiv.
(ii) Die Abbildung f ist surjektiv.
(iii) Die Abbildung f ist bijektiv. |
Meine Idee: Wenn f injektiv ist gilt ker(f)=(0) und damit nach der Dimensionsformel dim(V)= dim(im(f))+dim(ker(f))= dim(im(f))+dim(0)=dim(W) (nach Voraussetzung) also dim(im(f))=dim(W) also ist im(f)=W und damit ist f surjektiv.
Umgekehrt gilt im(f)=W wenn f surjektiv ist und damit dim(V)= dim(W)+dim(ker(f))=dim(W) also muss dim(ker(f))=0 sein und ker(f)=(0). Somit ist f dann auch injektiv. Eine Abbildung die injektiv und surjektiv ist, ist bijektiv.
Reicht das? Muss ich noch zeigen, dass bei Injektivität ker(f)=(0) und bei Surjektivität im(f)=W?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:08 So 19.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Es seien V und W zwei reelle Vektorräume mit dim(V)=dim(W)
> < [mm]\infty,[/mm] sowie
> f: V --> W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie die
> Äquivalenz der folgenden Aussagen:
> (i)Die Abbildung f ist injektiv.
> (ii) Die Abbildung f ist surjektiv.
> (iii) Die Abbildung f ist bijektiv.
> Meine Idee: Wenn f injektiv ist gilt ker(f)=(0) und damit
> nach der Dimensionsformel dim(V)= dim(im(f))+dim(ker(f))=
> dim(im(f))+dim(0)=dim(W) (nach Voraussetzung) also
> dim(im(f))=dim(W) also ist im(f)=W und damit ist f
> surjektiv.
>
> Umgekehrt gilt im(f)=W wenn f surjektiv ist und damit
> dim(V)= dim(W)+dim(ker(f))=dim(W) also muss dim(ker(f))=0
> sein und ker(f)=(0). Somit ist f dann auch injektiv. Eine
> Abbildung die injektiv und surjektiv ist, ist bijektiv.
>
> Reicht das? Muss ich noch zeigen, dass bei Injektivität
> ker(f)=(0) und bei Surjektivität im(f)=W?
> Vielen Dank.
Diese beiden Äquivalenzen sind ja wesentlicher Bestandteil deines Beweises. Also müssen sie nachgewiesen werden. Entweder geschah dies schon in der Vorlesung, dann kannst du dich natürlich darauf berufen oder du musst das hier leisten.
Die Struktur des Beweises (z.B. $ (i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (iii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i) $ oder $ ( (i) [mm] \gdw [/mm] (ii) ) $ und $ ((i) [mm] \wedge [/mm] (ii) ) [mm] \gdw [/mm] (iii) $ ) könnte noch etwas deutlicher werden. Zumindest solltest du den letzten Satz deines zweiten Absatzes als neuen Absatz schreiben.
Hinweis : Du kannst diesen Satz benutzen, um dir die Hälfte der Arbeit bei den Nachweisen aus deinem anderen Thema "Isomorphismus" zu sparen.
Gruß Sax.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:31 So 19.01.2014 | | Autor: | Cccya |
Ok also ker f = (0) kann ich beweisen, aber im f = W folgt doch im Prinzip direkt aus der Definition von Surjektivität oder? Die sagt ja gerade das jedes Element der Zielmenge W durch die Funktion abgebildet wird? Und das Bild ist der Teil von W der durch f abgebildet wird, also muss ja im f = W sein. Kann man dann einfach schreiben:
[mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V: f(v) = W daraus folgt {f(v) [mm] \in [/mm] W , v [mm] \in [/mm] V} = im f = W
und danke für den Hinweis, spart wirklich arbeit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 21.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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