differenzieren einer funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Mi 22.02.2006 | | Autor: | fidelio |
| Aufgabe | bilden sie die 1. ableitung und vereinfachen sie so weit wie möglich
f: [mm] y=\bruch{2\*\wurzel{(x-1)}}{\wurzel{(x+2)}}\*\bruch{\wurzel{(x+1)}}{4\* \wurzel{(x-2)}} [/mm] |
hallo und schönen mittag!
nun die probleme bei diffential rechnungen hatte ich schon in der schule und die werden leider wieder sehr vakant! 
folgende funktion habe ich wie folgt versucht zu vereinfachen:
f: [mm] y=\bruch{2\*\wurzel{(x-1)}}{\wurzel{(x+2)}}\*\bruch{\wurzel{(x+1)}}{4\* \wurzel{(x-2)}} [/mm] ........diverse umformungen und dann habe ich folgendes ergebnis:
[mm] y=\bruch{(x-1)^\bruch{1}{2}}{(x+2)^\bruch{1}{2}}\*\bruch{(x+1)^\bruch{1}{2}}{2\*(x-2)^\bruch{1}{2}}
[/mm]
.....so nun dachte ich, verwende die kettenregel dann müßte es ja funktionieren und habe folgendes gemacht:
[mm] y_{(x)}=(x-1)^\bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm]
äußere funktion = [mm] ()^\bruch{1}{2} \Rightarrow
[/mm]
[mm] u^\bruch{1}{2}
[/mm]
innere funktion = x-1 [mm] \Rightarrow
[/mm]
u=x-1
d.h.
[mm] y_{(u)}=u^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{d_{y}}{d_{u}}=\bruch{1}{2}u^\bruch{-1}{2}
[/mm]
weiters ist:
[mm] u_{(x)}=x-1
[/mm]
[mm] \bruch{d_{u}}{d_{x}}=1
[/mm]
dann habe ich für u=x-1 eingesetzt und erhalten habe ich dann: [mm] \bruch{1}{2}\*(x-1)^\bruch{-1}{2}\*1
[/mm]
so bin ich bei allen einzelnen funktionen vorgegangen und habe dann folgendes herausbekommen.
[mm] y'=\bruch{\bruch{1}{2}\*(x-1)^\bruch{-1}{2}\*1}{\bruch{1}{2}\*(x+2)^\bruch{-1}{2}\*1}\*\bruch{\bruch{1}{2}\*(x+1)^\bruch{-1}{2}\*1}{?????}
[/mm]
so nun komme ich zu meiner ersten frage: ist das bis hier her so halbwegs richtig????
und zweitens im nenner mit den vielen "??????" weiß ichnicht was ich mit dem 2er machen soll! aus [mm] 2\*(x-2)^\bruch{1}{2} [/mm] sprich was ist hier äußere und innere funktion ?????
ich bitte euch um eure hilfe da ich nicht weiter weiß!
danke schon im voraus für ratschläge hilfestellungen und dergleichen.
gruß
fidelio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Mi 22.02.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Stephan!
> bilden sie die 1. ableitung und vereinfachen sie so weit
> wie möglich
>
> f:
> [mm]y=\bruch{2\*\wurzel{(x-1)}}{\wurzel{(x+2)}}\*\bruch{\wurzel{(x+1)}}{4\* \wurzel{(x-2)}}[/mm]
>
> hallo und schönen mittag!
>
> nun die probleme bei diffential rechnungen hatte ich schon
> in der schule und die werden leider wieder sehr vakant!
>
>
> folgende funktion habe ich wie folgt versucht zu
> vereinfachen:
>
> f:
> [mm]y=\bruch{2\*\wurzel{(x-1)}}{\wurzel{(x+2)}}\*\bruch{\wurzel{(x+1)}}{4\* \wurzel{(x-2)}}[/mm]
> ........diverse umformungen und dann habe ich folgendes
> ergebnis:
>
> [mm]y=\bruch{(x-1)^\bruch{1}{2}}{(x+2)^\bruch{1}{2}}\*\bruch{(x+1)^\bruch{1}{2}}{2\*(x-2)^\bruch{1}{2}}[/mm]
Ich würde so weit umformen, bis da steht: 1/2 * Wurzel aus Bruch (?)
> .....so nun dachte ich, verwende die kettenregel dann müßte
> es ja funktionieren und habe folgendes gemacht:
... aber nicht nur die, sondern auch Produktregel u. Quotientenregel ...
> [mm]y_{(x)}=(x-1)^\bruch{1}{2} \Rightarrow[/mm]
> äußere funktion = [mm]()^\bruch{1}{2} \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]u^\bruch{1}{2}[/mm]
> innere funktion = x-1 [mm]\Rightarrow[/mm]
> u=x-1
>
> d.h.
>
> [mm]y_{(u)}=u^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d_{y}}{d_{u}}=\bruch{1}{2}u^\bruch{-1}{2}[/mm]
>
> weiters ist:
>
> [mm]u_{(x)}=x-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{d_{u}}{d_{x}}=1[/mm]
>
> dann habe ich für u=x-1 eingesetzt und erhalten habe ich
> dann: [mm]\bruch{1}{2}\*(x-1)^\bruch{-1}{2}\*1[/mm]
>
>
> so bin ich bei allen einzelnen funktionen vorgegangen und
> habe dann folgendes herausbekommen.
Aber das reicht nicht, s. o. mit den vielen Regeln ...
> [mm]y´=\bruch{\bruch{1}{2}\*(x-1)^\bruch{-1}{2}\*1}{\bruch{1}{2}\*(x+2)^\bruch{-1}{2}\*1}\*\bruch{\bruch{1}{2}\*(x+1)^\bruch{-1}{2}\*1}{?????}[/mm]
>
>
> so nun komme ich zu meiner ersten frage: ist das bis hier
> her so halbwegs richtig????
Nee nee nee!
> und zweitens im nenner mit den vielen "??????" weiß
> ichnicht was ich mit dem 2er machen soll!
Die 2 bzw. 1/2 steht als konstanter Faktor vor dem ganzen Gebilde und bleibt dir erhalten!
> aus
> [mm]2\*(x-2)^\bruch{1}{2}[/mm] sprich was ist hier äußere und innere
> funktion ?????
>
>
> ich bitte euch um eure hilfe da ich nicht weiter weiß!
>
> danke schon im voraus für ratschläge hilfestellungen und
> dergleichen.
Mein Ratschlag hier: Zieh dir nochmal diese ganzen Ableitungsregeln rein und mach dann einen neuen Anlauf! So schwer isses nich.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 22.02.2006 | | Autor: | fidelio |
hallo dieter,
danke für den ansatz, habe nun deinen rat befolgt und folgendes gemacht:
[mm] y=\bruch{2*\wurzel{(x-1)}}{\wurzel{(x+2)}}*\bruch{\wurzel{(x+1)}}{4* \wurzel{(x-2)}} [/mm]
habs umgeformt zu folgendem:
[mm] y=\bruch{1}{2}\*\wurzel{\bruch{(x-1)\*(x+1)}{(x+2)\*(x-2)}}
[/mm]
und weiter:
[mm] y=\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{(x^{2}-1)}{(x^{2}-4)}}
[/mm]
aus meiner sicht ist dann:
äußere funktion: [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
mittlere funktion: [mm] \wurzel
[/mm]
innere funktion: [mm] \bruch{(x^{2}-1}{(x^{2}-4)}
[/mm]
ist das im ansatz richtig?
danke für deine info
und
gruß aus dem salzkammergut
stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stephan!
Deine Umformungen sind richtig (wie auch bereits in meiner anderen
Antwort "angedeutet").
Auch Deine Funktionseinteilung ...
... wobei man [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] als konstanten Faktor betrachtet und einfach nur "mitschleppt".
Damit verbleiben lediglich eine äußere Funktion (Wurzel) sowie eine innere Funktion (Bruch).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mi 22.02.2006 | | Autor: | fidelio |
hallo thorsten,
nun ich habe jetzt einmal die innere funktion abgeleitet mit der quotientenregel und bekomme:
[mm] -\bruch{6x}{(x^{2}-4)}
[/mm]
wenn ich aus meinen schlauen büchern und deinen antworten mir das richtig zusammen reime, dann müßte eigentlich die erste ableitung der funktion wie folgt aus sehen:
y´= [mm] (-\bruch{6x}{(x^{2}-4)^{2}})^\bruch{-1}{2}
[/mm]
schaut irgendwie total verrückt aus und ist auch sicher total verrückt.....
gruß stephan
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Hallo!
>
> nun ich habe jetzt einmal die innere funktion abgeleitet
> mit der quotientenregel und bekomme:
>
> [mm]-\bruch{6x}{(x^{2}-4)}[/mm]
Hier fehlt eine Kleinigkeit. (Vielleicht hast Du es bloß vergessen?)
[mm] $-\frac{6x}{(x^2-4)^\blue{2}}$
[/mm]
>
> wenn ich aus meinen schlauen büchern und deinen antworten
> mir das richtig zusammen reime, dann müßte eigentlich die
> erste ableitung der funktion wie folgt aus sehen:
>
> y´= [mm](-\bruch{6x}{(x^{2}-4)^{2}})^\bruch{-1}{2}[/mm]
>
Das ist so noch nicht ganz richtig.... denn Du mußt ja zunächst die innere Ableitung bilden (das hast Du oben getan) und dann mit der äußeren Ableitung der Funktion [mm] $\sqrt [/mm] u$ multiplizieren. (wobei Du für $u$ später wieder [mm] $\frac{x^2-1}{x^2-4}$ [/mm] einsetzt.)
Deine Ableitung ist dann [mm] $f'(x)=-\bruch{6x}{(x^{2}-4)^2}\left(\sqrt u\right)'$.
[/mm]
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 22.02.2006 | | Autor: | fidelio |
hallo,
nun das "hoch 2" habe ich vergessen zu schreiben - gerechnet habe ich damit.
nur stellt sich mir die frage was ist die ableitung von [mm] \wurzel{u} [/mm] damit ich die innere ableitung die scheinbar richtig ist mit der ableitung [mm] \left(\sqrt u\right)' [/mm] multiplizieren kann. da finde ich leider keine beispiele und auch keine antworten damit ich weiter komme.
[mm] u(x)=\wurzel{u}
[/mm]
[mm] u'(x)=\bruch{1}{2}\*u^\bruch{-1}{2}
[/mm]
und wenn ich jetzt für [mm] u=\bruch{x^{2}-1}{x^{2}-4} [/mm] einsetze dann bekomme ich eine ableitung die ja noch grausiger aussieht als man sich vorstellen kann.
[mm] y'(x)=-\bruch{1}{2}\*\bruch{6x}{(x^{2}-4)^2}\*(\bruch{x^{2}-1}{x^{2}-4})^\bruch{-1}{2}
[/mm]
meine frage ist das so richtig und was weiter? ich kenne mich jetzt gar nicht mehr aus! was mach ich mit dem ergebnis was kann ich da noch vereinfachen? ich sehs einfach nicht mehr !!!!
bitte um hilfe
gruß stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo gerade gar nicht mehr fideler Stephan !
> [mm]y'(x)=-\bruch{1}{2}\*\bruch{6x}{(x^{2}-4)^2}\*(\bruch{x^{2}-1}{x^{2}-4})^\bruch{-1}{2}[/mm]
Deine Ableitung ist nun richtig! Dies kann man nun noch je nach Geschmack leicht vereinfachen: zuerst lasse ich den negativen Exponenten verschwinden und anschließend kürze ich noch etwas:
[mm]y'(x) \ = \ -\bruch{1}{2}*\bruch{6x}{\left(x^2-4\right)^2}*\left(\bruch{x^2-1}{x^2-4}\right)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
[mm]= \ -\bruch{3x}{\left(x^2-4\right)^2}*\left(\bruch{x^2-4}{x^2-1}\right)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
[mm]= \ -\bruch{3x}{\left(x^2-4\right)^2}*\bruch{\left(x^2-4\right)^{\bruch{1}{2}}}{\left(x^2-1\right)^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
[mm]= \ -\bruch{3x}{\left(x^2-1\right)^{\bruch{1}{2}}}*\bruch{\left(x^2-4\right)^{\bruch{1}{2}}}{\left(x^2-4\right)^2 }[/mm]
[mm]= \ -\bruch{3x}{\wurzel{x^2-1}}*\bruch{1}{\left(x^2-4\right)^{2-\bruch{1}{2}}}[/mm]
[mm]= \ -\bruch{3x}{\wurzel{x^2-1}}*\bruch{1}{\left(x^2-4\right)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
[mm]= \ -\bruch{3x}{\wurzel{x^2-1}}*\bruch{1}{\wurzel{\left(x^2-4\right)^{3}}}[/mm]
[mm]= \ -\bruch{3x}{\wurzel{\left(x^2-1\right)*\left(x^2-4\right)^{3}}}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Mi 22.02.2006 | | Autor: | fidelio |
...hallo thorsten,
danke für die hilfe!
ich war mir nicht mehr sicher ob diese verdammte ableitung nun richtig ist oder nicht.
den rest sehe ich nun sehr klar, aber ich glaube habe kein auge dafür was man vereinfachen kann und was nicht.
wie auch immer...... merci vielmals
lg
stephan
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