differenzierbarkeit? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Sa 20.01.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Seien [mm] f_1 [/mm] (x) , ... [mm] f_m [/mm] (x) : I [mm] \to \IC [/mm] differenzierbare Funktionen auf einem nichttrivialem Intervall I (Mehr als ein Punkt im Intervall).
f:= [mm] \produkt_{j=1}^{m} f_j [/mm] besitzt keine Nullstelle in I. Zeige dass gilt:
[mm] \bruch{f'}{f}= \summe_{j=1}^{m}\bruch{f'_j}{f_j} [/mm] |
ich verstehe diese Aufgabe nicht so ganz, ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich anfangen soll, habt ihr vielleicht nen tipp?
MFG
CPH
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Da [mm]f[/mm] nullstellenfrei ist, sind auch die [mm]f_j[/mm] nullstellenfrei (Produkt). Gehe in der Gleichung zu den Beträgen über, beachte die Verträglichkeit des Betrags mit der Multiplikation und logarithmiere die Gleichung. Der Logarithmus eines Produktes entspricht aber der Summe der Logarithmen (Logarithmusgesetz). Ableiten liefert dir dann sofort das Gewünschte. Stichwort: Logarithmische Ableitung.
Alternativ kannst du auch die Produktregel anwenden. Für drei Faktoren [mm]u,v,w[/mm] etwa lautet die
[mm]\left( uvw \right)' = u'vw + uv'w +uvw'= uvw \left( \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} + \frac{w'}{w} \right)[/mm]
Und für [mm]m[/mm] Faktoren geht das analog.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 So 21.01.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank, das ist jetzt klar!
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