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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Di 10.01.2006 | | Autor: | kotek |
| Aufgabe | 1. Zeigen Sie, dass die Funktion
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ x^3, & \x < 0 \end{cases}
[/mm]
differenzierbar ist.
Ist f stetig differenzierbar oder sogar zweimal differenzierbar?
2. Zeigen Sie, dass
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto |x|^3
[/mm]
zweimal auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist, jedoch nicht dreimal. |
wie soll ich anfangen bitte bitte gutte tips
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Di 10.01.2006 | | Autor: | Sandeu |
Hallo,
du sitzt wohl auch bei dem guten Harry in der Vorlesung.
Du musst zunächst den links- und den rechtsseitigen Grenzwert betrachten (Definition 5.1), da wirst du feststellen, dass f(x) diffbar ist.
Nun zeigst du noch, dass f´(x) auch stetig ist.
Bleibt noch zu zeigen, ob f(x) zweimal diffbar ist. Hier gehst du wieder mit dem links- und rechtsseitigem Grenzwert ran (diesmal von f´(x)) ...
Die zweite Teilaufgabe verläuft analog.
Lieben Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 10.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
das mit der differenzierbarkeit habe ich hinbekommen,
leider komme ich nciht auf die Stetigkeit,
wie bzw was muss man da machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 10.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo kuminitu!
Für $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ können wir die Ableitungsfunktion angeben:
[mm] f'(x)=\begin{cases} 2*x, & x > 0 \\ 3*x^2, & x < 0 \end{cases}
[/mm]
Nun musst Du für den Nachweis der Stetigkeit die Existenz bzw. Gleichheit von rechtsseitigem und linksseitigem Grenzwert nachweisen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] f'(x_0)$
[/mm]
Und der Wert [mm] $f'(x_0)$ [/mm] wurde durch den Nachweis der Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] (hier [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$) bereits ermittelt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 10.01.2006 | | Autor: | mushroom |
Hallo!
Bekomme das mit dem links- und rechtsseitigen Limes irgendwie nicht hin. Die Definition besagt ja [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. [/mm] Wie kann ich denn jetzt damit den jeweiligen Limes betrachten.
Ich habe f'(0) = [mm] \lim_{x \downarrow 0} \frac{x^2-0}{x-0} [/mm] = x bzw. f'(0) = [mm] \lim_{x \uparrow 0} \frac{x^3-0}{x-0} [/mm] = [mm] x^2 [/mm]
Nun sind aber beide Seiten nicht gleich, also nach meiner (sicherlich falschen) Rechnung ist f(x) in [mm] x_0 [/mm] = 0 nicht differenzierbar.
Was mache ich falsch?
Gruß Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Di 10.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
Du machst doch gerde die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow\red{0}$ [/mm] . Dann setze doch mal jeweils diesen Zahlenwert ein.
Was erhältst Du? Sind die beiden Grenzwerte immer noch verschieden?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 10.01.2006 | | Autor: | mushroom |
Hallo Loddar,
ich galube jetzt hat es Klick gemacht. Also
[mm] \lim_{x \to x_0 \downarrow} \frac{x^2-0}{0} [/mm] = [mm] \frac{0-0}{0} [/mm] = 0 und
[mm] \lim_{x \to x_0 \downarrow} \frac{x^3-0}{0} [/mm] = [mm] \frac{0-0}{0} [/mm] = 0
Ist das jetzt so korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Di 10.01.2006 | | Autor: | mushroom |
Stimmt ja,
manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Danke
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verboten ist.
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