differenzierbar, Bogenlänge < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Sa 20.08.2011 | | Autor: | ljubow |
| Aufgabe | | Begründen Sie, dass die Kurve [mm] \gamma: [0,2\pi] [/mm] -> [mm] \IR^{2}, \gamma(t) [/mm] = (t-sin(t), 1-cos(t)) differenzierbar ist, und berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve [mm] \gamma. [/mm] |
Guten Tag!
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
i) Differenzierbarkeit zeigen
ii) Bogenlänge berechnen
Bis jetzt habe ich folgendes:
i)
Eine Funktion ist ja differenzierbar, wenn ihr Grenzwert existiert:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm]
für alle [mm] x_0
[/mm]
Das Problem ist aber hier, dass wir von [mm] \IR^{2} [/mm] sprechen und da geht das ja irgendwie nicht...
ii)
Die Bogenlänge haben wir gelernt als [mm] \integral_{0}^{2\pi}{||\gamma'(t)|| dx}
[/mm]
Also berechne ich [mm] \gamma'(t) [/mm] = (1-cos(x), sin(x))
[mm] ||\gamma'(t)|| [/mm] = [mm] \wurzel{(1-cos(x))^{2} + (sin(x))^{2}}
[/mm]
Also habe ich dann:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(1-cos(x))^{2} + (sin(x))^{2}} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{(1 + cosx^{2} - 2cosx + sinx^{2})^{1/2}}
[/mm]
Da [mm] cosx^{2} [/mm] + [mm] sinx^{2} [/mm] = 1 sind folgt:
= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{(2 - 2cosx)^{1/2}}
[/mm]
Aber das kann ich irgendwie nicht integrieren...
Stimmt das soweit?
Vielen Dank im Voraus!
Liebe Grüsse,
Ljubow
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Sa 20.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo ljubow,
die Rechnung ist okay soweit, du solltest das Argument noch etwas umformen, dann verschwindet sogar die Wurzel unter dem Integral. Zunächst mal kannst Du eine [mm]\wurzel{2} [/mm] rausziehen. Dann geht es mit folgendem Hinweis weiter:
[mm] \sin (\bruch{t}{2}) = \wurzel{\bruch{1-\cos t}{2}} [/mm]
Übrig bleibt dann die Wurzel aus einem Sinusquadrat und das ist nicht so schwer aufzulösen, bevor man integriert.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Sa 20.08.2011 | | Autor: | ljubow |
Hi,
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich habe das jetzt folgendermassen weitergerechnet:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{2-2cosx} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{2(1-cosx)} dx}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cosx} dx}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} \integral_{0}^{2\pi}{sind(x) dx}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} cos(2\pi) [/mm] - [mm] \wurzel{2} [/mm] cos(0) = [mm] \wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{2} [/mm] = 0
Stimmt das?
Wie geht es bei dem Differenzierbarkeitbeweis weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Sa 20.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
leider nicht ganz. Beim Sinusargument hast Du nicht aufgepasst und auch die Zwei aus dem Nenner ist irgendwo im Nirvana entschwunden.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 20.08.2011 | | Autor: | ljubow |
> Hallo,
> leider nicht ganz. Beim Sinusargument hast Du nicht
> aufgepasst und auch die Zwei aus dem Nenner ist irgendwo im
> Nirvana entschwunden.
> Viele Grüße,
> Infinit
>
Oh ja du hast Recht, ich hatte bei meiner Formel sin(x) = [mm] \wurzel{1-cos^{2}x} [/mm] das hoch 2 übersehen!
So müsste es besser sein:
... = [mm] \wurzel{2} \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cosx} dx} [/mm] = [mm] \wurzel{2} \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}} \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1-cosx} dx}
[/mm]
= 2 [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{\bruch{1-cosx}{2}} dx}
[/mm]
= 2 [mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(x/2) dx}
[/mm]
Substitution: u=x/2 -> du = 1/2 dx -> 2 du = dx
= 2*2 [mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(u) du} [/mm]
= [mm] 4cos(2\pi/2) [/mm] - 4cos(0) = 0-4 = -4
Ist das nun ok oder haben sich da immer noch Fehler eingeschlichen?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Sa 20.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Beim allerletzten Einsetzen hast Du nicht ganz aufgepasst. Den Sinus integriert ergibt einen - cos und so bekommst Du
[mm] -4 \cos (\bruch{t}{2}}) [/mm] in den angegebenen Grenzen also [mm] -4 \cdot (-1-1) [/mm] und das gibt eine glatte 8. Positiv sollte eine Länge schon sein.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Sa 20.08.2011 | | Autor: | ljubow |
Oh ja, wieder so ein blöder Fehler!
Vielen Dank für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Sa 20.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo nochmal,
die Kurve ist im vorgegebenen Intervall dann differenzierbar, wenn ihre Ableitung in diesem Intervall stetig ist. Deine Teilfunktionen, aus denen sich die Ableitung zusammensetzt, sind stetig und damit gilt dies auch für den kompletten Ableitungsausdruck.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Sa 20.08.2011 | | Autor: | ljubow |
ah so einfach wär das gewesen!
Super, danke für deine Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 So 21.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
> die Kurve ist im vorgegebenen Intervall dann
> differenzierbar, wenn ihre Ableitung in diesem Intervall
> stetig ist.
Mit Verlaub, aber das ist Unsinn !
[mm] \gamma(t) [/mm] = (t-sin(t), 1-cos(t)) ist differenzierbar, weil die beiden Koordinatenfunktionen t-sin(t) und t-cos(t) differenzierbar sind.
FRED
> Deine Teilfunktionen, aus denen sich die
> Ableitung zusammensetzt, sind stetig und damit gilt dies
> auch für den kompletten Ableitungsausdruck.
> Viele Grüße,
> Infinit
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 So 21.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo fred,
meine Erklärung ist aber richtig für eine stetige Differenzierbarkeit, oder etwa nicht?
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Mo 22.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
> meine Erklärung ist aber richtig für eine stetige
> Differenzierbarkeit, oder etwa nicht?
Ja, stetig differenzierbar heißt: differenzierbar + stetige Ableitung.
FRED
> Viele Grüße,
> Infinit
>
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