differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Zu folgender Aufgabe habe ich eine Frage:
Die Funktion [mm] g:\IR\to\IR [/mm] sei wie folgt definiert:
[mm] g(x):=x^2\cos(\bruch{1}{x}) [/mm] für [mm] x\not=0
[/mm]
g(0):=0.
Man zeige, dass g in jedem Punkt [mm] x\in \IR [/mm] differenzierbar ist und berechne die Ableitung.
Also, ich nehme mal an, dass ich hier einfach mal von der Definition der Differenzierbarkeit ausgehen muss. Aber welche der beiden nehme ich denn am besten? Die mit [mm] \lim_{\xi\to x; \xi\not= x}\bruch{f(\xi)-f(x)}{\xi-x} [/mm] oder die: [mm] \lim_{h\to 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] (hoffe, ich hab mich nicht vertan...)?
Bisher wusste ich jedenfalls bei keiner der beiden, was ich machen kann. Vielleicht könnte mir da jemand noch eine Idee geben?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mi 24.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallöchen  ,
die Funktion ist für alle x [mm] \not=0 [/mm] diffbar, das ist, denke ich, klar. Interessant ist also nur die Stelle 0.
Also ich würde die erste Definition nehmen, dann folgt ja
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{g(x)-g(0)}{x-0}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] x*cos( [mm] \bruch{1}{x})
[/mm]
= 0
da ja cos für alle x betragsmäßig kleiner gleich 1 ist.
Winke winke!
djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo djmatey!
> Hallöchen ,
> die Funktion ist für alle x [mm]\not=0[/mm] diffbar, das ist, denke
> ich, klar. Interessant ist also nur die Stelle 0.
Klar ist das schon, aber muss ich das nicht trotzdem noch zeigen? Es geht in diesem Kapitel ja gerade um die Differenzierbarkeit, und ich denke, Sinn der Aufgabe ist es dann auch zu zeigen, dass die Funktion wirklich überall diffbar ist. Wie mache ich das dann?
> Also ich würde die erste Definition nehmen, dann folgt ja
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{g(x)-g(0)}{x-0}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] x*cos( [mm]\bruch{1}{x})[/mm]
> = 0
> da ja cos für alle x betragsmäßig kleiner gleich 1 ist.
> Winke winke!
> djmatey
Eine kurze Frage noch: was hat das damit zu tun, dass [mm] \cos [/mm] betragsmäßig [mm] \le [/mm] 1 ist? Würde das sonst nicht konvergieren? Warum nicht?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
> Hallo djmatey!
Nee, nur ich  ...
> Klar ist das schon, aber muss ich das nicht trotzdem noch
> zeigen? Es geht in diesem Kapitel ja gerade um die
> Differenzierbarkeit, und ich denke, Sinn der Aufgabe ist es
> dann auch zu zeigen, dass die Funktion wirklich überall
> diffbar ist. Wie mache ich das dann?
Hier kannst Du doch mit den bekannten Ableitungsregeln die Ableitung $g'(x)_$ bilden und wirst feststellen, dass der entstehende Ausdruck auch für alle $x [mm] \not= [/mm] 0$ definiert ist.
> Eine kurze Frage noch: was hat das damit zu tun, dass [mm]\cos[/mm]
> betragsmäßig [mm]\le[/mm] 1 ist? Würde das sonst nicht konvergieren?
> Warum nicht?
Wäre die Cosinusfunktion unbeschränkt, entstünde für den Grenzwert ja der unbestimmte Ausdruck $0 * [mm] (\pm \infty)$ [/mm] .
Durch die Beschränktheit ist aber sicher gestellt, dass auch wirklich gilt: $0 * A \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 24.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallöchen, kann mich Loddar nur anschließen...
Falls Du wirklich explizit die Diffbarkeit von g nachweisen willst:
Mit derselben Definition der Ableitung kannst Du die Diffbarkeit von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für alle [mm] x\not=0 [/mm] leicht zeigen. Die Diffbarkeit von cos findest Du überall, z.B. im Forster S. 144 - das geht auch mit der Definition. Die Diffbarkeit von [mm] cos(\bruch{1}{x}) [/mm] für alle [mm] x\not=0 [/mm] erhältst Du nun aus der Kettenregel.
Bleibt noch, die Diffbarkeit von [mm] x^{2} [/mm] zu zeigen. Das geht wieder leicht mit der Definition. Die Diffbarkeit von g für alle [mm] x\not=0 [/mm] erhältst Du jetzt aus der Produktregel, in 0 war ja schon gezeigt.
LG djmatey
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