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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 02.04.2007 | | Autor: | slice |
| Aufgabe | Im Jahr 1998 gaben die Medien die Weltbevölkerungszahl mit etwa 6 Milliarden Menschen und die jährliche Wachstumsrate mit 1,7% an.
Bevölkerungszahlen zu den Zeiten der Weltbevölkerungskonferenzen:
1974(Budapest) 4,0 Milliarden
1984(Mexiko) 4,8 Milliarden
1994(Kairo) 5,7 Milliarden
2004 (10 Jahre nach Kairo) 6,3 Milliarden
1) Beschreiben Sie die Daten durch eine Exponentialfunktion und geben Sie an, wie gut Ihre Funktion die Daten annähert.
Untersuchen Sie Ihre Exponentialfunktion und deren Bedeutung für die Weltbevölkerung und erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Beriff "Wachstumsgeschwindigkeit". |
Hey!
Also das ist die Aufgabe..
Die Lösung ist
[mm] f(x)=6*1,017^{x}
[/mm]
ooder
[mm] f(x)=6,1045*1,01572^{x}
[/mm]
aaaber wieso weiß man dann jetzt, dass man das mit ner funktion der form [mm] f(x)=a*b^{x}
[/mm]
machen muss und nicht mit
[mm] f(x)=c*e^{k*t} [/mm] ???
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Hallo!
erstmal, ich weiß nicht genau, wo du deine zweite Gleichung herbekommst, aber die erste ist erstmal richtig.
Dann zu deiner Frage: Es ist erstmal vollkommen natürlich, daß man mit [mm] $1,017^x$ [/mm] anfängt, denn man weiß, daß die jährliche Bevölkerung das 1,017-fache der vorherigen ist. Das heißt, du kannst für x einfach Jahre einsetzen (wobei du aufpassen mußt: es ist eigentlich die Differenz zu 1998)
Bei Bakterien und so gibts häufiger sowas wie "verdoppelt sich alle 3 Minuten", hier ist es sinnvoll, das als [mm] $2^\frac{x}{3}$ [/mm] zu schreiben.
Diese Form hat aber ZWEI Parameter: die "2" und die "3". (Der Anfangswert ist erstmal egal)
Weiterhin sind unterschiedliche Wachstumsprozesse so nur schwer zu vergleichen. Besser wäre, wenn man einen Parameter festnagelt. Statt "2" nimmt man nun gerne "e", dann wird daraus ja:
[mm] $2^{x/3}=e^{\left(\ln 2^{(x/3)} \right)}=e^{\left({x/3}*\ln 2 \right)}=e^{\left(x*(\ln 2)/3 \right)}$
[/mm]
Jetzt ist da nur noch ein einziger Parameter drin, nämlich [mm] $(\ln [/mm] 2)/3$. Damit lassen sich nun verschiedene Prozesse einfacher vergleichen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 02.04.2007 | | Autor: | slice |
hmm aber ich weiß noch nciht genau woran ich jetzt sehe welche von beiden gleichungen ich nehmen soll??
klar, ist die funktion aus der lösung mit [mm] 6*1,017^{x} [/mm] einfacher und so.. aber ich hätte laube ich jetzt verscuht die andere form mit e zu nehmen, weil di ja eher thema in der 13 ist.. weiß auch nciht halt woran man erkennt welche man nimmt?
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Also, wann man die e-Funktion nimmt, und wann nicht, habe ich ja oben geschrieben. Abschließend vielleicht noch, daß man meist die nicht-e-Funktion hinterher wie beschrieben umrechnet.
Ich weiß ehrlich gesagt aber auch nciht, was ich speziell zu deinen Funktionen sagen soll. Denn das Einpassen einer Funktion in eine Menge von Punkten, die eben NICHT genau auf so einer Funktion liegen, ist relativ kompliziert. Hattest du evtl. Statistik?
Das einfachste wäre, die Punkte und deine Funktion mal zu zeichnen, und zu schaun, wie gut das paßt.
Wachstumsgeschwindigkeit ist hier eben die Ableitung der Funktion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mo 02.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
> hmm aber ich weiß noch nciht genau woran ich jetzt sehe
> welche von beiden gleichungen ich nehmen soll??
> klar, ist die funktion aus der lösung mit [mm]6*1,017^{x}[/mm]
> einfacher und so.. aber ich hätte laube ich jetzt verscuht
> die andere form mit e zu nehmen, weil di ja eher thema in
> der 13 ist.. weiß auch nciht halt woran man erkennt welche
> man nimmt?
Du musst dich doch auf keine der 2 festlegen, da man die eine ja immer direkt aus der anderen umformen kann!
also
[mm]f(x)=6*1,017^{x}=6*e^{x*ln1.017[/mm]
oder du hast
[mm] $f(x)=6*e^{0.017*x}=6*(e^{0.017})^x$
[/mm]
Da TR meist besser mit e-fkt umgehen koennen, ist es wenn man nur Punkte gegeben hat einfacher die e-fkt zu nehmen, hat aber sonst keinen Vorteil.
Bei der e-fkt siehst du auch leichter die Steigung.d.h. die Aenderrungsrate.
Gruss leduart
Grusss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Di 03.04.2007 | | Autor: | slice |
hmm naja aber
wenn ich f(0)=6 Mrd. nehme mit dem Jahr 1998
könnte ich doch über
[mm] f(0)=c*e^{k*0}=6Mrd.
[/mm]
ausrechnen, dass c=6 Mrd. ist.
Dann nehme ich eine andere Zahl, z.B.
f(6)=6,3 Mrd.
woraus folgt:
f(6)=6 Mrd. [mm] *e^{6*k}=6,3
[/mm]
woraus dann k=0,08 folgt.
damit wäre dann f(t)=6 Mrd. [mm] *e^{0,008t}
[/mm]
so rechnet man dann zur kontrolle mal f(-24) aus für das jahr 1974 rechnet, kommt 4,93 Mrd. raus.
Die Angabe ist aber 4 Mrd.
Wieos geht denn dann dieser Ansatz nicht???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:28 Mi 04.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
Der Ansatz ist voellig richtig.
was du rausgefunden hast ist, dass sich die Weltbevoelkerung nicht nach einer genauen einfachen Wachstumsfkt verhaelt!
Um ne etwa fkt rauszukriegen ist es meistens besser, den ersten und letzten Wert zu nehmen ( jahresweise Schwankungen gibts immer) und dann nachzusehen, wie stark die mittleren werte von der so bestimmten fkt abweichen.
Es war ja auch gefragt, wie gut eine exp. funktion das beschreibt, und nicht behauptet, dass es genau eine ist.
Wenn mans genauer wissen will, versucht man dann, ob sich die daten mit einer linearen fkt. besser beschreiben lassen.
(gerade die durch Anfang und Endpunkt der Tabelle geht, z.bsp und vergleicht dann die beiden "Modelle"
Im wirklichen leben gibts selten exakte e-fkt. nur radioaktiver Zerfall ist ein genaues Beispiel, aber auch da nur, wenn man ne genuegend grosse Stoffmenge hat.
Gruss leduart
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