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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 So 20.05.2007 | | Autor: | sorry_lb |
| Aufgabe | Die lineare Abbildung [mm] \varphi [/mm] : R3 [mm] \to [/mm] R3 ist gegeben durch
[mm] \varphi ((x_{1}, x_{2}, x_{3})T [/mm] ) = ( [mm] \bruch{5}{6}x_{1} [/mm] − [mm] \bruch{1}{6}x_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x_{3},\bruch{-1}{6}x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{5}{6}x_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x_{3}, \bruch{1}{3}x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x_{3})T [/mm] . Man diagonalisiere [mm] \varphi [/mm] und deute [mm] \varphi [/mm] geometrisch. |
schönen guten abend. also ich hab das char Polynom [mm] \lambda*(\lambda-1)²
[/mm]
und somit die Eigenwerte 0 und als doppelten die 1, jetz hab ich im inet geschaut und es steht überall, dass die Diagonalmatrix nur aus den Eigenwerten besteht, also wäre sie in meinem fall doch [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }. [/mm] (muss ich die dritte zeile bzw spalte, die nur aus nullen besteht mit aufführen?)
aber es steht außerdem, dass ich die eigenvektoren bestimmen muss (bei mir erhalte ich [mm] v_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0,5}, v_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0,5} [/mm] und [mm] v_{0}=\vektor{9 \\ 5 \\ -10}) [/mm] aber wozu brauche ich die denn jetz?
und mein zweites problem is die geometrische Deutung? was sollte mir das sagen?
dank euch schonmal.
lg
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> Die lineare Abbildung [mm]\varphi[/mm] : R3 [mm]\to[/mm] R3 ist gegeben
> durch
> [mm]\varphi ((x_{1}, x_{2}, x_{3})T[/mm] ) = ( [mm]\bruch{5}{6}x_{1}[/mm]
> − [mm]\bruch{1}{6}x_{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3}x_{3},\bruch{-1}{6}x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{5}{6}x_{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3}x_{3}, \bruch{1}{3}x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}x_{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3}x_{3})T[/mm] . Man diagonalisiere [mm]\varphi[/mm] und deute
> [mm]\varphi[/mm] geometrisch.
> schönen guten abend. also ich hab das char Polynom
> [mm]\lambda*(\lambda-1)²[/mm]
> und somit die Eigenwerte 0 und als doppelten die 1, jetz
> hab ich im inet geschaut und es steht überall, dass die
> Diagonalmatrix nur aus den Eigenwerten besteht,
Hallo,
ich habe Dein Polynom nicht nachgerechnet, aber wenn es so richtig ist sind die Eigenwerte 0 und 1, die 1 ist dann ein doppelter Eigenwert.
Das Mit der Diagonalmatrix und den Eigenwerten stimmt haargenau.
Aber warum unterschlägst Du die 0??? Du hast doch selbst gesagt, daß das ein EW ist. EW=0 bedeutet nicht: kein Eigenwert.
Die Diagonalmatrix, auf die Du zusteuerst, ist also [mm] \pmat{ 0 & 0&0 \\ 0 & 1&0\\ 0 & 0&1}.
[/mm]
> aber es steht außerdem, dass ich die eigenvektoren
> bestimmen muss (bei mir erhalte ich [mm]v_{(1)1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0,5}, v_{(1)2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0,5}[/mm]
> und [mm]v_{0}=\vektor{9 \\ 5 \\ -10})[/mm] aber wozu brauche ich die
> denn jetz?
Auch diese Eigenvektoren habe ich nicht nachgerechnet.
Sie sind linear unabhängig, also kannst Du hier etwas Besonderes haben: eine Basis aus Eigenvektoren.
Wenn Du richtig gerechnet hast, ist
[mm] \varphi(v_0)=0*v_0
[/mm]
[mm] \varphi(v_{(1)1})=1*v_{(1)1}
[/mm]
[mm] \varphi(v_{(1)2})=1*v_{(1)2},
[/mm]
die Matrix der Abbildung [mm] \varphi [/mm] bzgl. der Basis aus Eigenvektoren [mm] (v_0, v_{(1)1}, v_{(1)2}) [/mm] ist dann die Diagonalmatrix von oben.
Man diagonalisiere: Du brauchst nun die Transformationsmatrix T, die Dir die Basis aus Eigenwerten in die kanonische umwandelt, und die, die das umgekehrte tut.
Dann ist
Diagonalmatrix= [mm] T^{-1}*gegebene [/mm] Matrix*T
T findest Du leicht: Du mußt nur die Eigenvektoren als Spalten in eine Matrix schreiben.
>
> und mein zweites problem is die geometrische Deutung? was
> sollte mir das sagen?
Kannst Du erklären, was ein Eigenvektor ist?
Gruß v. Angela
>
> dank euch schonmal.
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mo 21.05.2007 | | Autor: | sorry_lb |
hey hab ganz lieben dank, hast mir wirklich weiter geholfen, haben das bis jetz nich so gemacht, wie du mir das erklärt hast, aber ich komm so auf die richtige lösung (hatte mich bei einem eigenwert doch verrechnet).
aber nochmal zur geometrischen deutung: ich hab ehrlich gesagt keine ahnung, was ein eigenvektor geometrisch darstellt, hab das bis jetz immer nur stur ausgerechnet... könntest du mir da nochmal nen tipp geben oder nen link, hab nix brauchbares gefunden.
nochma ganz lieben dank!!
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> aber nochmal zur geometrischen deutung: ich hab ehrlich
> gesagt keine ahnung, was ein eigenvektor geometrisch
> darstellt, hab das bis jetz immer nur stur ausgerechnet...
Hallo,
Eigenvektoren sind Vektoren, welche besondere Richtungen bei linearen Abblidungen markieren, nämlich die Richtungen, in denen sich die Vektoren unter der Abbildungen lediglich um ein Vielfaches (den Eigenwert) verändern, ihre Richtung jedoch beibehalten.
Stell Dir z.B. eine Drehung des [mm] \IR^3 [/mm] um die z_Achse vor.
Alle Vektoren in Richtung z_Achse verändern sich überhaupt nicht! (Eigenwert 1), deshalb sind die Vektoren in Richtung Drehachse Eigenvektoren. Andere Eigenvektoren gibt es nicht, denn alle anderen ändern unter die Drehung ihre Richtung.
Nun stellen wir uns eine Abbildung vor mit zugehörigen Eigenwerten -2, 0 und 5, Eigenvektoren [mm] e_{-2}, e_{0}, e_{5}.
[/mm]
Diese Eigenvektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Was passiert unter der Abbildung?
Alle Vektoren in Richtung [mm] e_{-2} [/mm] werden mit dem Faktor -2 gestreckt und "klappen um" in die entgegengesetzte Richtung.
Alle Vektoren in Richtung [mm] e_{0} [/mm] werden auf die 0 abgebildet.
Alle Vektoren in Richtung [mm] e_{5} [/mm] werden mit dem Faktor 5 gestreckt.
Gruß v. Angela
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