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| Aufgabe | Es sei T [mm] \in End(IR^3) [/mm] mit der Eigenschaft [mm] T(x_{1}, x_{2}, x_{3})= (x_{1} -x_{2}+ x_{3},-6x_{2}+ 12x_{3},-2x_{1} +2x_{2}-2 x_{3})
[/mm]
Zeigen Sie,dass T diagoanlisierbar ist und bestimmen Sie einen Eigenvektor von T. |
Hallo! Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll. Und wie bestimme ich einen Eigenvektor? Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte!
Gruß
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> Es sei T [mm]\in End(IR^3)[/mm] mit der Eigenschaft [mm]T(x_{1}, x_{2}, x_{3})= (x_{1} -x_{2}+ x_{3},-6x_{2}+ 12x_{3},-2x_{1} +2x_{2}-2 x_{3})[/mm]
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> Zeigen Sie,dass T diagoanlisierbar ist und bestimmen Sie
> einen Eigenvektor von T.
> Hallo! Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß
> gar nicht wie ich anfangen soll. Und wie bestimme ich einen
> Eigenvektor? Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte!
> Gruß
Hallo,
stell zuerst die darstellende Matrix der Abb. auf bzgl. der Standardbasis.
Berechne das charakteristische Polynom, mit seinen Nullstellen hast Du die Eigenwerte [mm] \lambda_i [/mm] der Abbildung.
Eigenvektoren findest Du dann durch Berechnen des Kerns v. [mm] A-\lambda_iE_3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> stell zuerst die darstellende Matrix der Abb. auf bzgl.der
> Standardbasis.
> Berechne das charakteristische Polynom, mit seinen
> Nullstellen hast Du die Eigenwerte [mm]\lambda_i[/mm] der
> Abbildung.
Ist der Ansatz richtig, wenn ich [mm] \lambda_{1}=\lambda_{3} ;\lambda_{2}=0 [/mm] und [mm] \lambda_{3} [/mm] freiwählbar raus bekomme? Oder bin ich da auf dem Holzweg?
> Eigenvektoren findest Du dann durch Berechnen des Kerns v.
> [mm]A-\lambda_iE_3.[/mm]
beim kern müsste ich doch wieder Nullen hinter die Matrix stellen. ist der kern also schon durch die [mm] \lambda_{i} [/mm] gegeben?
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> > stell zuerst die darstellende Matrix der Abb. auf bzgl.der
> > Standardbasis.
> > Berechne das charakteristische Polynom, mit seinen
> > Nullstellen hast Du die Eigenwerte [mm]\lambda_i[/mm] der
> > Abbildung.
>
> Ist der Ansatz richtig, wenn ich [mm]\lambda_{1}=\lambda_{3} ;\lambda_{2}=0[/mm]
> und [mm]\lambda_{3}[/mm] freiwählbar raus bekomme? Oder bin ich da
> auf dem Holzweg?
Hallo,
unter frei wählbaren Eigenwerten kann ich mir nichts vorstellen.
Du solltest mal vorrechnen:
Matrix, charakteristisches Polynom, Nullstellen.
> > Eigenvektoren findest Du dann durch Berechnen des Kerns v.
> > [mm]A-\lambda_iE_3.[/mm]
>
> beim kern müsste ich doch wieder Nullen hinter die Matrix
> stellen. ist der kern also schon durch die [mm]\lambda_{i}[/mm]
> gegeben?
Na sicher werden die Eigenvektoren von den Eigenwerten abhängen. Oder was meinst Du?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 So 04.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo ihr zwei.
Ich sitze grade an der gleichen Aufgabe, nur hängts bei mir an anderer Stelle...
Ich habe mir diesen Artikel zur Transformationsformel noch mal durchgelesen.
Demnach wäre die Darstellungsmatrix von T bezüglich der kanonischen Basis
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -6 & 12 \\ -2 & 2 & -2} [/mm] ?
Das verwirrt mich einigermaßen, weil ich doch einiges an Rechnerei im Hinterkopf hatte, bei Aufgaben diesen Typs.
Habe ich da grade irgendetwas übersehen, bzw. verwechselt?
Danke soweit erst einmal im Voraus.
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> Ich habe mir diesen Artikel zur
> Transformationsformel
> noch mal durchgelesen.
>
> Demnach wäre die Darstellungsmatrix von T bezüglich der
> kanonischen Basis
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -6 & 12 \\ -2 & 2 & -2}[/mm] ?
Hallo,
ja, die ist richtig.
>
> Das verwirrt mich einigermaßen, weil ich doch einiges an
> Rechnerei im Hinterkopf hatte, bei Aufgaben diesen Typs.
Du meinst jetzt Aufgaben im Zusammenhang mit Darstellungsmatrizen und Basen - nicht Eigenwertaufgaben, oder?
> Habe ich da grade irgendetwas übersehen, bzw. verwechselt?
Ich glaube, Du verwechseltst es. Solche Aufgaben können überaus lästig sein (und sind als Aufgaben sehr beliebt!), wenn von einer Darstellung bzgl der Standardbasis die Darstellung bezüglich anderer Basen gesucht , oder man eine bzgl anderer Basen gegebene Dastellung in die Darstellung bzgl. der Standardbasis umwandeln soll.
Das ist hier aber nicht der Fall, wir haben ja die Abbildung sehr behaglich bzgl der Standardbasis angegeben.
Wenn man wollte, könnte man sich hier auch eine Herausforderung suchen und die Darstellende Matrix bzgl der Basis [mm] B:=(\vektor{1\\ 2\\3},\vektor{4 \\ 5\\6}, \vektor{7 \\ 8\\0}) [/mm] aufstellen.
Wir müßten dieselben Eigenwerte bekommen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 04.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Ah super. Danke. Dann hab ich das jetzt denke ich so weit verstanden.
Dann zum nächsten Schritt eine kleine Frage:
Um einen Eigenvektor von T zu bestimmen, muss ich ja zunächst einen Eigenwert von T herausfinden.
Diesen ermittel ich über das charakteristische Polynom [mm] x_{T}.
[/mm]
[mm] x_{T}(\lambda) [/mm] = [mm] det(\lambda [/mm] E - T) =
[mm] \lambda^{3} [/mm] - [mm] (t_{11} [/mm] + [mm] t_{22} [/mm] + [mm] t_{33}) \lambda^{2} [/mm] + [mm] \lambda(\vmat{\lambda + 6 & 12 \\ -2 & \lambda + 2} [/mm] + [mm] \vmat{\lambda - 1 & -1 \\ 2 & \lambda + 2} [/mm] + [mm] \vmat{\lambda - 1 & 1 \\ 0 & \lambda + 6}) [/mm] - [mm] \vmat{ \lambda-1 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda + 6 & 12 \\ 2 & -2 & \lambda + 2}
[/mm]
= [mm] \lambda^{3} [/mm] - [mm] 3\lambda^{2} [/mm] - [mm] 7\lambda [/mm] + [mm] \lambda((\lambda^{2} [/mm] + [mm] 8\lambda [/mm] + 36) + [mm] (\lambda^{2} [/mm] + [mm] \bruch{\lambda}{2}) [/mm] + [mm] (\lambda^{2} [/mm] + [mm] 5\lambda [/mm] - 6)) - [mm] \vmat{ \lambda-1 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda + 6 & 12 \\ 2 & -2 & \lambda + 2}
[/mm]
Zwischenfrage: Ist diese Formel soweit richtig angewandt? Oder gibt es einen geschickteren Weg zum Eigenwert? Der Rechenaufwand ist ja hier nicht unerheblich - und das Risiko von Flüchtigkeits-/Schreibfehlern doch recht hoch...
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> Dann zum nächsten Schritt eine kleine Frage:
>
> Um einen Eigenvektor von T zu bestimmen, muss ich ja
> zunächst einen Eigenwert von T herausfinden.
>
> Diesen ermittel ich über das charakteristische Polynom
> [mm]x_{T}.[/mm]
>
> [mm]x_{T}(\lambda)[/mm] = [mm]det(\lambda[/mm] E - T) =
> [mm]\lambda^{3}[/mm] - [mm](t_{11}[/mm] + [mm]t_{22}[/mm] + [mm]t_{33}) \lambda^{2}[/mm] +
> [mm]\lambda(\vmat{\lambda + 6 & 12 \\ -2 & \lambda + 2}[/mm] +
> [mm]\vmat{\lambda - 1 & -1 \\ 2 & \lambda + 2}[/mm] + [mm]\vmat{\lambda - 1 & 1 \\ 0 & \lambda + 6})[/mm]
> - [mm]\vmat{ \lambda-1 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda + 6 & 12 \\ 2 & -2 & \lambda + 2}[/mm]
>
> = [mm]\lambda^{3}[/mm] - [mm]3\lambda^{2}[/mm] - [mm]7\lambda[/mm] +
> [mm]\lambda((\lambda^{2}[/mm] + [mm]8\lambda[/mm] + 36) + [mm](\lambda^{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{\lambda}{2})[/mm] + [mm](\lambda^{2}[/mm] + [mm]5\lambda[/mm] - 6)) -
> [mm]\vmat{ \lambda-1 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda + 6 & 12 \\ 2 & -2 & \lambda + 2}[/mm]
>
> Zwischenfrage: Ist diese Formel soweit richtig angewandt?
Hallo,
ich kann dem Ganzen nicht so recht folgen. Ich sehe irgendwelche [mm] t_i_j, [/mm] und überhaupt wirkt das so, als hättest Du das, was Du schreiben wolltest, in den Shaker geworfen und kräftig geschüttelt.
Wenn ich mir aus diesem Cocktail mal [mm] \vmat{ \lambda-1 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda + 6 & 12 \\ 2 & -2 & \lambda + 2} [/mm] herausfische, erkenne ich (nahezu) die Determinante, die eigentlich hätte berechnet werden sollen. In der 2.Zeile sehe ich einen Vorzeichenfehler, -12 müßte es dort heißen.
3x3-Determinanten rechne ich meist mit der Sarrusschen regel aus, aber im Prinzip ist das ja egal, man kann hier auch nach der ersten Spalte entwickeln.
Fehler darf man halt nicht machen...
Gruß v. Angela
> Oder gibt es einen geschickteren Weg zum Eigenwert? Der
> Rechenaufwand ist ja hier nicht unerheblich - und das
> Risiko von Flüchtigkeits-/Schreibfehlern doch recht hoch...
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