dgl zweiten gerades < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | | bestimmen sie die lösung der dgl: y''+4y'+16x+8=0 |
hallo zusammen...
bei dieser aufgabe bekome ich den homogenen teil sauber gelöst ...
beim lösen des partikulären teils habe ich aber ein kleines problem...
mein Störfunktion ist hier S(x)=-16x-8
da wir ausschließlich mit direkten ansätzen arbeiten habe ich aus meiner tabelle folgenden ansatz genommen:
[mm] y_{p}=A_{2}x^{2}+A_{1}x+A_{0}
[/mm]
das [mm] A_{2}x^{2} [/mm] muß in den ansatz mit aufgenommen werden da die homogene Dgl das glied qy nicht enthält)
die ersten beiden ableitungen von [mm] y_{p} [/mm] lauten:
[mm] y'_{p}=2A_{2}x+A_{1}
[/mm]
[mm] y''_{p}=2A_{2}
[/mm]
y, y' und y'' in die inhomogene dgl eingesetzt ergibt:
[mm] 2A_{2}+8A_{2}x+4A_{1}=-16x-8
[/mm]
durch koeffizienten vergleich folgt:
x: [mm] 8A_{2} [/mm] = -16 --> [mm] A_{2}=-2
[/mm]
[mm] x^{0}:2A_{2}+4A_{1}=-8 [/mm] --> [mm] A_{1}=-1
[/mm]
daraus folgt meine partikuläre [mm] lösung:y_{p}=-2x^{2}-1x+A_{0}...
[/mm]
was mache ich an dieser stelle mit dem A0? setze ich es einfach gleich 0?
wenn ja gibt es eine erklärung dafür oder ist das was das man einfach so hinnehmen muß?
würde mich über eine antwort sehr freuen...
mfg Gwin
|
|
| |
|
Hallo!
> was mache ich an dieser stelle mit dem A0? setze ich es
> einfach gleich 0?
> wenn ja gibt es eine erklärung dafür oder ist das was das
> man einfach so hinnehmen muß?
Dafür gibt es eine recht einfache Erklärung: Die Funktion $y(x)=1$ ist eine Lösung der homogenen Gleichung. Deshalb kann man diese Lösung auf [mm] $y_p$ [/mm] beliebig oft aufaddieren, ohne dass das ein Problem ergibt.
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Gwin |
hi banachella...
danke für deine antwort...
aber so wirklich verstehen tue ich es nicht... als lösung der homogenen gleichung habe ich 0 und -4...
homogene dgl.:
y''+4y=0 --> [mm] k_{1,2}=-2\pm\wurzel{4}...
[/mm]
[mm] k_{1}=0 [/mm] und [mm] k_{2}=-4
[/mm]
--> [mm] y_{h}=C_{1}+C_{2}*e^{-4*x}
[/mm]
mfg Gwin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Fr 15.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Gwin
Ob du A0=0 oder irgendwas einsetzt ist einfach egal.
In der gesamten allg. Lösg der Dgl hast du dann (A0+C1)=C3 stehen, und das wird erst durch die Anfangswerte bestimmt.
Dass du in der allg. Lösung C1 stehen hast, also ne bel. Zahl addieren kannst ist natürlich dasselbe, was Zwerglein sagt. (C2=0.C1=1 ist ne Lösung der hom.)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Gwin |
hi leduart...
jetzt habe ich es glaube ich verstanden :)... vielen dank...
aber dann nochmal zu den förmlichkeiten...
reicht es dann wenn ich einfach schreibe A0=0 und fertig oder sollte man erwähnen das (C1+A0)=C3 ist?
oder kommt es da auf den prof. an?
mfg Gwin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Fr 15.09.2006 | | Autor: | smarty |
Hi,
der Vollständigkeit halber kannst du das ruhig hinschreiben, aber da [mm] A_0 [/mm] ja garnicht in der hom. DGL auftaucht, denke ich, weiß der Prof bescheid.
mfg
Smarty
|
|
|
|
