dgl 2. ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Fr 01.04.2011 | | Autor: | cmueller |
Hallo zusammen,
habe nächste Woche eine Prüfung, eigentlich über Analysis, der Prof. fragt aber ganz gern auch mal (simple) DGLn ab.
In einem Prüfungsprotokoll bin ich jetzt auf folgende DGL gestoßen:
$y'' + 4y' = [mm] e^{2s}$
[/mm]
DGL liegt bei mir schon etwas zurück, deshalb bin ich nicht mehr ganz dadrin...
Wenn die Aufgabe gelautet hätte
$y'' + 4y' = 0$ wäre das soweit ja klar gewesen, das ganze umzuschreiben als [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] 4\lambda_{2} [/mm] = 0 usw.
die [mm] e^{2s} [/mm] haben mich hier ziemlich aus dem konzept gebracht.
kann mir jemand einen kurzen tipp geben, wie ich stattdessen vorgehe, bzw. was ich tun muss, damit ich eine homogene lin. dgl hab?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo cmueller,
DGLn solltest Du noch mal angucken, denn Dein Ansatz zur Lösung der homogenen DGL ist leider verkehrt.
Bei dieser DGL kannst Du zunächst die rechte Seite zu Null setzen (das ist die homogene DGL) und Du bekommst
[mm] y^{''} + 4 y^{'} = 0 [/mm]
Hier kommst Du mit dem Lambda-Ansatz weiter, denn Du löst die Gleichung
[mm] \lambda^2 + 4 \lambda = 0 [/mm]
Hierüber bekommst Du die Lösung der homogenen DGL. Den Lösungsanteil der inhomogenen DGL bekommst Du dann durch einen Ansatz vom Typ der rechten Seite.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Sa 02.04.2011 | | Autor: | cmueller |
> Hallo cmueller,
> DGLn solltest Du noch mal angucken, denn Dein Ansatz zur
> Lösung der homogenen DGL ist leider verkehrt.
sorry meinte durchaus die dgl, die du geschrieben hast, hab mich nur vertan^^
> Bei dieser DGL kannst Du zunächst die rechte Seite zu Null
> setzen (das ist die homogene DGL) und Du bekommst
> [mm]y^{''} + 4 y^{'} = 0[/mm]
> Hier kommst Du mit dem Lambda-Ansatz
> weiter, denn Du löst die Gleichung
> [mm]\lambda^2 + 4 \lambda = 0[/mm]
so dann habeich [mm] \lambda [/mm] = 0 und [mm] \lambda [/mm] = 4 raus
habe also als Fundamentalbasis
[mm] y_{1}=1 [/mm] und [mm] y_{2}=e^{4x} [/mm] raus richtig?
und damit die allgemeine Lösung [mm] y_{0}(x) [/mm] = [mm] C_{1} [/mm] + [mm] C_{2}e^{4x}
[/mm]
> Hierüber bekommst Du die
> Lösung der homogenen DGL. Den Lösungsanteil der
> inhomogenen DGL bekommst Du dann durch einen Ansatz vom Typ
> der rechten Seite.
da habe ich noch probleme mit, wie kam ich nochmal auf die Parikulärlösung?
[mm] y_{p} [/mm] = hm irgendwas und dann konnte ich das ja hintendran hängen...hilfe bitte!
> Viele Grüße,
> Infinit
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo cmueller,
> > Hallo cmueller,
> > DGLn solltest Du noch mal angucken, denn Dein Ansatz zur
> > Lösung der homogenen DGL ist leider verkehrt.
>
> sorry meinte durchaus die dgl, die du geschrieben hast, hab
> mich nur vertan^^
>
> > Bei dieser DGL kannst Du zunächst die rechte Seite zu Null
> > setzen (das ist die homogene DGL) und Du bekommst
> > [mm]y^{''} + 4 y^{'} = 0[/mm]
> > Hier kommst Du mit dem
> Lambda-Ansatz
> > weiter, denn Du löst die Gleichung
> > [mm]\lambda^2 + 4 \lambda = 0[/mm]
>
> so dann habeich [mm]\lambda[/mm] = 0 und [mm]\lambda[/mm] = 4 raus
> habe also als Fundamentalbasis
> [mm]y_{1}=1[/mm] und [mm]y_{2}=e^{4x}[/mm] raus richtig?
>
> und damit die allgemeine Lösung [mm]y_{0}(x)[/mm] = [mm]C_{1}[/mm] +
> [mm]C_{2}e^{4x}[/mm]
Nein, die Lösungen für [mm]\lambda[/mm] lauten [mm]\lambda_1=0[/mm] und [mm]\lambda_2=-4[/mm].
> > Hierüber bekommst Du die
> > Lösung der homogenen DGL. Den Lösungsanteil der
> > inhomogenen DGL bekommst Du dann durch einen Ansatz vom Typ
> > der rechten Seite.
>
> da habe ich noch probleme mit, wie kam ich nochmal auf die
> Parikulärlösung?
> [mm]y_{p}[/mm] = hm irgendwas und dann konnte ich das ja hintendran
> hängen...hilfe bitte!
>
> > Viele Grüße,
> > Infinit
Ich gehe mal davon aus, dass y von s abhängt, sonst wäre die rechte Seite der DGL ja konstant. Die homogene Lösung lautet dann [mm]y_h(s)=c_1+c_2e^{-4s}[/mm]
Für die partikuläre Lösung setze mal [mm] $e^{2s}$ [/mm] in die DGL ein und schau, was passiert.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Sa 02.04.2011 | | Autor: | cmueller |
> Hallo cmueller,
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> > > Hallo cmueller,
> > > DGLn solltest Du noch mal angucken, denn Dein Ansatz zur
> > > Lösung der homogenen DGL ist leider verkehrt.
> >
> > sorry meinte durchaus die dgl, die du geschrieben hast, hab
> > mich nur vertan^^
> >
> > > Bei dieser DGL kannst Du zunächst die rechte Seite zu Null
> > > setzen (das ist die homogene DGL) und Du bekommst
> > > [mm]y^{''} + 4 y^{'} = 0[/mm]
> > > Hier kommst Du mit dem
> > Lambda-Ansatz
> > > weiter, denn Du löst die Gleichung
> > > [mm]\lambda^2 + 4 \lambda = 0[/mm]
> >
> > so dann habeich [mm]\lambda[/mm] = 0 und [mm]\lambda[/mm] = 4 raus
> > habe also als Fundamentalbasis
> > [mm]y_{1}=1[/mm] und [mm]y_{2}=e^{4x}[/mm] raus richtig?
> >
> > und damit die allgemeine Lösung [mm]y_{0}(x)[/mm] = [mm]C_{1}[/mm] +
> > [mm]C_{2}e^{4x}[/mm]
>
> Nein, die Lösungen für [mm]\lambda[/mm] lauten [mm]\lambda_1=0[/mm] und
> [mm]\lambda_2=-4[/mm].
ok, vorzeichenfehler^^
>
> > > Hierüber bekommst Du die
> > > Lösung der homogenen DGL. Den Lösungsanteil der
> > > inhomogenen DGL bekommst Du dann durch einen Ansatz vom Typ
> > > der rechten Seite.
> >
> > da habe ich noch probleme mit, wie kam ich nochmal auf die
> > Parikulärlösung?
> > [mm]y_{p}[/mm] = hm irgendwas und dann konnte ich das ja
> hintendran
> > hängen...hilfe bitte!
> >
> > > Viele Grüße,
> > > Infinit
>
> Ich gehe mal davon aus, dass y von s abhängt, sonst wäre
> die rechte Seite der DGL ja konstant. Die homogene Lösung
> lautet dann [mm]y_h(s)=c_1+c_2e^{-4s}[/mm]
>
> Für die partikuläre Lösung setze mal [mm]e^{2s}[/mm] in die DGL
> ein und schau, was passiert.
>
ich soll einfach [mm] e^{2s} [/mm] in die ursprungsdgl einsetzen? dann kommt bei mir raus [mm] 4e^{2s}+8e^{2s}....das [/mm] ist aber doch keine partikulärlösung?
tut mir leid ich steh grad echt aufm schlauch, und so sehr vertiefen will ich das thema vor der prüfung nicht mehr, weil es ja eigentlich gar nicht um dgln geht...
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> > Ich gehe mal davon aus, dass y von s abhängt, sonst wäre
> > die rechte Seite der DGL ja konstant. Die homogene Lösung
> > lautet dann [mm]y_h(s)=c_1+c_2e^{-4s}[/mm]
> >
> > Für die partikuläre Lösung setze mal [mm]e^{2s}[/mm] in die DGL
> > ein und schau, was passiert.
> >
> ich soll einfach [mm]e^{2s}[/mm] in die ursprungsdgl einsetzen? dann
> kommt bei mir raus [mm]4e^{2s}+8e^{2s}....das[/mm] ist aber doch
> keine partikulärlösung?
> tut mir leid ich steh grad echt aufm schlauch, und so sehr
> vertiefen will ich das thema vor der prüfung nicht mehr,
> weil es ja eigentlich gar nicht um dgln geht...
[mm]e^{2s}[/mm] ist offensichtlich nicht ganz die gesuchte Funktion: [mm]12e^{2s}\neq e^{2s}[/mm]
Aber [mm]y_p(s)=\frac{1}{12}e^{2s}[/mm] passt.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Sa 02.04.2011 | | Autor: | cmueller |
aaaaaaaah jetzt hab ich geschnallt, was du meinst :)
danke =)
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