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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 Do 27.01.2011 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | | berechnen Sie [mm] \(det(-A^2) [/mm] |
hi,
bin mir hier nicht sicher , wie ich vorgehen soll..
die determinante ist [mm] \(det=300
[/mm]
könnte mir 2 lösungswege vorstellen,,
[mm] \(det(A^2)
[/mm]
[mm] -->\(det(A)*det(A)
[/mm]
und, da wir noch das negative vorrzeichen haben [mm] \(det(-A^2)
[/mm]
[mm] -->\(det(-A)*det(-A)
[/mm]
[mm] \(=90000
[/mm]
andererseits könnte man das ganze auch so sehen [mm] \(det(-A^2) [/mm] --> [mm] \(det(-1*A^2)
[/mm]
-----> da es sich um eine 4x4 matrix handelte --> [mm] \((-1)^4(det)A^2)
[/mm]
--> [mm] \(1*((300)(300))
[/mm]
kommt zwar das selbe raus, statt der [mm] \(-1 [/mm] hätte allerdings auch [mm] \(-2 [/mm] stehen können oder die Matrix hätte einen "ungerade" Dimension haben können... dies würde zu einem anderen Ergebnis ..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Do 27.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Tach!
> berechnen Sie [mm]\(det(-A^2)[/mm]
> hi,
>
> bin mir hier nicht sicher , wie ich vorgehen soll..
>
> die determinante ist [mm]\(det=300[/mm]
Soll das heißen [mm]det(A)=300[/mm]?
Und hast du explizit eine Matrix A gegeben?
>
> könnte mir 2 lösungswege vorstellen,,
>
> [mm]\(det(A^2)[/mm]
>
> [mm]-->\(det(A)*det(A)[/mm]
>
> und, da wir noch das negative vorrzeichen haben
> [mm]\(det(-A^2)[/mm]
>
> [mm]-->\(det(-A)*det(-A)[/mm]
>
> [mm]\(=90000[/mm]
Achtung. Das stimmt glaube nicht allgemein. Z.B. ist für eine 3x3-Matrix:
[mm] det(-A^2)=(-1)^3*det(A^2)\not=det(-A)*det(-A)=det((-A)^2)
[/mm]
Aber da du hier eine 4x4-Matrix hast würde das glaube ich so funktionieren, weil [mm] det(-A)*det(-A)=(-1)^4*det(A)*(-1)^4*det(A)=det(A)*det(A).
[/mm]
>
>
>
> andererseits könnte man das ganze auch so sehen
> [mm]\(det(-A^2)[/mm] --> [mm]\(det(-1*A^2)[/mm]
>
> -----> da es sich um eine 4x4 matrix handelte -->
> [mm]\((-1)^4(det)A^2)[/mm]
>
> --> [mm]\(1*((300)(300))[/mm]
Das wäre der Weg, auf dem ich das ganze gelöst hätte. So ists auch für "ungerade" Dimensionen richtig.
>
> kommt zwar das selbe raus, statt der [mm]\(-1[/mm] hätte allerdings
> auch [mm]\(-2[/mm] stehen können oder die Matrix hätte einen
> "ungerade" Dimension haben können... dies würde zu einem
> anderen Ergebnis ..
Das hast du richtig erkannt.
>
>
Grüße!
skoopa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Fr 28.01.2011 | | Autor: | m4rio |
hallo,
ja genau, s sollte heissen $ det(A)=300 $, habe die determinante schon berechnet und kam nur an dieser stelle ins grübeln.
D.h.
$ [mm] -->\(det(-A)\cdot{}det(-A) [/mm] $ kann ich nur rechnen, wenn der koeffizient vor dem [mm] \(A^2 [/mm] =1 ist...
bei [mm] \(A^3 [/mm] würde ich das gleiche prinzip anwenden?
sobald sich was mit dem koeffizienten tut, ziehe ich in heraus und exponiere ihn mit der Dimension der Matrix.. korrekt so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Fr 28.01.2011 | | Autor: | skoopa |
> hallo,
>
> ja genau, s sollte heissen [mm]det(A)=300 [/mm], habe die
> determinante schon berechnet und kam nur an dieser stelle
> ins grübeln.
>
> D.h.
>
> [mm]-->\(det(-A)\cdot{}det(-A)[/mm] kann ich nur rechnen, wenn der
> koeffizient vor dem [mm]\(A^2[/mm] =1 ist...
Hmm...Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich grad richtig versteh. Aber du hast halt für eine n-dimenionale quadratische Matrix A:
[mm] det(-A^2)=det(-A)*det(A)=(-1)^n*det(A)*det(A)
[/mm]
[mm] det((-A)^2)=det(-A)*det(-A)=(-1)^n*det(A)*(-1)^n*det(A)=(-1)^{2n}*(det(A))^2=(det(A))^2
[/mm]
Also sind die beiden Ausdrücke für gerades n gleich und für ungerade n nicht.
Ich hoffe das war was du gemeint hast 
>
> bei [mm]\(A^3[/mm] würde ich das gleiche prinzip anwenden?
>
>
>
> sobald sich was mit dem koeffizienten tut, ziehe ich in
> heraus und exponiere ihn mit der Dimension der Matrix..
> korrekt so?
Genau so!
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