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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Sa 29.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
ich habe eine aufgabe bei der man zeigen soll:
für [mm] A\in GL_{n} [/mm] (K) dass [mm] P_{A^-1}(X)*det [/mm] A = [mm] (-X)^n P_{A}(1/X) [/mm] gilt und folgern sie [mm] a_{1}=(-1)^{n+1} [/mm] det A * Tr [mm] A^{-1} [/mm] für den koeffizienten [mm] a_{1} [/mm] des linearen terms von [mm] P_{a}.
[/mm]
Ich würde die aufgabe ja gerne bearbeiten,nur weiß ich nicht was mit diesem [mm] P_{A^-1}(X) [/mm] gemeint ist,kann mir das vielleicht jemand sagen und vielleicht sonst noch ein paar tipps;))?
grüße
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> nicht was mit diesem [mm]P_{A^{-1}}(X)[/mm] gemeint ist,kann mir das
> vielleicht jemand sagen
Hallo,
bezeichnet Ihr mit [mm] P_A [/mm] das charakteristische Polynom der Matrix A?
Dann ist [mm] P_{A^{-1}} [/mm] sicher das Charakteristische Polynom von [mm] A^{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 30.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela,
danke für deine hilfe.also ich habe mal nachgeschaut und im skript steht soviel,dass mit [mm] P_{A} [/mm] das polynom einer determinante in den koeffizienten einer matrix gemeint ist,soweit ich das richtig verstanden habe aber was ist mit dem X gemeint?irgendwie komm ich mit der definition nicht klar.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 So 30.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
Das X ist einfach nur die Unbestimmte, die du ja in einem Polynom hast.
Z.B. hat die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] das Charakteristische Polynom [mm] P_{A} [/mm] = (1-X)(4-X)-6. Nun kannst du ganz normal für das X irgendetwas einsetzen, z.B. [mm] P_{A}(3) [/mm] = (1-3)(4-3)-6 = -8 oder [mm] P_{A}(A) [/mm] = (E-A)(4E-A)-6E = 0E (man kann auch eine Matrix für das X einsetzen, in diesem Fall muss man aber die Koeffizienten uminterpretieren als Vielfache der Einheitsmatrix).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 30.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo merle,
danke für deine hilfe also ein stückchen schlauer bin ich jetzt schonmal aber das reicht noch nicht ganz;))ich habe jetzt sogar die lösung der aufgabe in meinen unterlagen gefunden aber ich kann sie einfach nicht verstehen.also der beweis lautet so:
[mm] P_{A^{-1}} [/mm] (X) det(A)=det(X [mm] id_{K^{n}}-A^{-1})det(A)
[/mm]
=det ((X [mm] id_{K^n}-A^{-1})A)
[/mm]
[mm] =det(XA-id_{k^{n}})
[/mm]
=det(-X(-A+ [mm] \bruch{1}{X}id_{K^{n}}))
[/mm]
[mm] =(-X)^n det(\bruch{1}{X}id_{k^n}-A)
[/mm]
[mm] =(-X)^n P_{A}(\bruch{1}{X})
[/mm]
beim ersten schritt geht es schon los,wie kommt man von [mm] P_{A^{-1}} [/mm] (X) auf : det(X [mm] id_{K^{n}}-A^{-1})
[/mm]
viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 So 30.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
> hallo merle,
>
> danke für deine hilfe also ein stückchen schlauer bin ich
> jetzt schonmal aber das reicht noch nicht ganz;))ich habe
> jetzt sogar die lösung der aufgabe in meinen unterlagen
> gefunden aber ich kann sie einfach nicht verstehen.also der
> beweis lautet so:
> [mm]P_{A^{-1}}[/mm] (X) det(A)=det(X [mm]id_{K^{n}}-A^{-1})det(A)[/mm]
> =det ((X [mm]id_{K^n}-A^{-1})A)[/mm]
> [mm]=det(XA-id_{k^{n}})[/mm]
> =det(-X(-A+ [mm]\bruch{1}{X}id_{K^{n}}))[/mm]
> [mm]=(-X)^n det(\bruch{1}{X}id_{k^n}-A)[/mm]
>
> [mm]=(-X)^n P_{A}(\bruch{1}{X})[/mm]
> beim ersten schritt
> geht es schon los,wie kommt man von [mm]P_{A^{-1}}[/mm] (X) auf :
> det(X [mm]id_{K^{n}}-A^{-1})[/mm]
>
> viele grüße
Das ist die Definition des Charakteristischen Polynoms.
Der Rest sind einfache Umformungen, ausserdem wird zwei mal eine Eigenschaft der Determinante ausgenutzt ( Det(A)*Det(B) = Det(A*B) ).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 30.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für deine antwort.die umformung von der 2. zur 3.(det(A*B)=det(A)+det(B)) versteh ich noch aber die aller erste umformung,bei welcher du sagtest, das sei eine definiton,wärst du vielleicht so lieb und könntest mir dies an hand eines beispiel zeigen.ich weiß nämlich immer noch nicht wie ich mir das in matrizenform vorstellen soll.ich wär dir sehr dankbar.
viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 30.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
Das Charakteristische Polynom einer Matrix A ist definiert als [mm] P_{A}=det(X*E-A), [/mm] wobei X die unbekannte, E die Einheitsmatrix und A deine Matrix ist. Du hast statt E [mm] id_{K^{n}} [/mm] geschrieben; dass ist Wurscht, wie du das schreibst.
Beispiel:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }.
[/mm]
[mm] P_{A} [/mm] = [mm] det(X*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }-\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }) [/mm] = [mm] det(\pmat{ X-1 & -2 \\ -3 & X-4 }) [/mm] = (X-1)(X-4)-6.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 30.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo merle,
danke für das beispiel.meinst du mit charakteristischem polynom die eigenwerte der matrix weil die haben wir immer genau umgekehrt berechnet,nämlich det(A-XE) oder meinst du was anderes?
liebe grüße
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Hallo mini111,
> hallo merle,
>
> danke für das beispiel.meinst du mit charakteristischem
> polynom die eigenwerte der matrix weil die haben wir immer
> genau umgekehrt berechnet,nämlich det(A-XE) oder meinst du
> was anderes?
Merle meint dasselbe.
det[mm]\left(A-X*E\right)=0[/mm] und det[mm]\left(X*E-A\right)=0[/mm] haben dieselbe Lösungsmenge.
Ist A eine (n,n)-Matrix, so gilt:
det[mm]\left(X*E-A\right)= \left(-1\right)^{n}*[/mm] det[mm]\left(A-X*E\right)[/mm]
> liebe grüße
Gruß
MathePower
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