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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:01 Di 19.04.2005 | | Autor: | wee |
Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Idee richtig ist?
Folgende Aufgabe:
Sei f: V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus der endlich dimensionalen K-Vektorraumes V. Sei U [mm] \subseteq [/mm] V ein Untervektorraum, für den f(U) [mm] \subseteq [/mm] U gilt, dazu sei [mm] \overline{f} [/mm] : V/U [mm] \to [/mm] V/U, v+U [mm] \mapsto [/mm] f(v) +U der induzierte Endomorphismus des Faktorraumes V/U und sei f(eingeschrenkt auf U): U [mm] \to [/mm] U der induzierte Endomorphismus von U.
Zeige det(f)= det( [mm] \overline{f} [/mm] ) * det(f(eingeschrenkt auf U))
Kann man hier ein Kompositum von [mm] \overline{f} [/mm] und f(eingeschrenkt auf U) formulieren, sodass die zu den Abb. gehörenden Matrizen multiplieziert werden, woraus die Behauptung folgt.
Was bedeutet in den Zusammenhang "induziert" ?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum gestellt
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Hallo!
Also zunächst mal geht Dein Ansatz so wie Du ihn formuliert hast nicht... denn die Dimensionen passen gar nicht. $U$ ist ein Teilraum von $V$ und damit ist die Einschränkung von $f$ auf $U$ im Allgemeinen eine kleinere Matrix als die Matrix von $f$.
Nein, gefragt ist ein Satz über geblockte Matrizen. Dazu überlege Dir zunächst folgendes:
Bekanntlich besteht $V / U$ aus Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation $v [mm] \sim [/mm] w : [mm] \Leftrightarrow [/mm] v - w [mm] \in [/mm] U$. Die $U$-Invarianz von $f$ sorgt nun dafür dass die Definition
$f([v]) := [f(v)]$ (wobei ich mit $[v]$ die Äquivalenzklasse von $v$ bezeichne) unabhängig von der Wahl des Vertreters, also eine wohldefinierte Abbildung [mm] $\bar{f} [/mm] : V / U [mm] \to [/mm] V/ U$ liefert. Das ist mit "induziert" gemeint.
Viel interessanter ist jetzt folgende Überlegung: ist [mm] $u_1, \ldots, u_r$ [/mm] eine Basis von $U$, die durch Vektoren [mm] $w_1, \ldots, w_s$ [/mm] zu einer Basis von $V$ ergänzt wurde, dann bilden [mm] $[w_1], \ldots, [w_s]$ [/mm] eine Basis von $V / U$. Die Matrix von $f$ bezüglcih der Gesamtbasis von $V$ hat wegen der $U$-Invarianz aber folgende Form:
[mm] $\pmatrix{A & * \\ 0 & B}$
[/mm]
Hierbei sind $A$ und $B$ quadratische Teilmatrizen. Das $*$ steht für beliebige Elemente, die da stehen.
Kannst Du jetzt zeigen, dass $A$ eine darstellende Matrix von der Einschränkung von $f$ auf $U$ ist (nämlich bzgl. eben der Basis [mm] $u_1, \ldots, u_r$) [/mm] und das $B$ die Abbildung [mm] $\bar{f}$ [/mm] darstellt? Denn dann bist Du im Prinzip fertig, wenn Du noch einen bekannten Hilfssatz über Determinanten von Matrizen der obigen Form zitierst...
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mi 20.04.2005 | | Autor: | wee |
erstmal danke für die Antwort,
muss ich mir also die darstellende Matrix von f also folgendermaßen vorstellen:
{A & x [mm] \\ [/mm] 0 & B } mit A und B wie du sie beschrieben hast? Die Matrix A ist mir klar, wie muss ich mir aber B vorstellen und wie sehen eigendlich die Basiselemente von V/U aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Do 21.04.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo wee!
> muss ich mir also die darstellende Matrix von f also
> folgendermaßen vorstellen:
>
> {A & x [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 & B } mit A und B wie du sie beschrieben hast?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist richtig.
> Die Matrix A ist mir klar, wie muss ich mir aber B
> vorstellen und wie sehen eigendlich die Basiselemente von
> V/U aus?
Es sei $(v_1,\ldots,v_m)$ eine Basis von $U$, die zu einer Basis $(v_1,\ldots,v_m,v_{m+1},\ldots,v_n)$ von $V$ ergänzt wird. Dann ist
$(v_{m+1}+U,\ldots,v_n+U)$
eine Basis von $V/U$.
Wir wollen nun zeigen, dass $B$ die Matrixdarstellung von $\overline{f} :V/U \to V/U$ bezüglich dieser Basis ist. Wie sieht $B$ überhaupt aus?
Nun ja, ist $H$ die Matrixdarstellung von $f$ bezüglich der obigen Basis, dann gilt ja für alle $j=m+1,\ldots,n$:
$f(v_j) = \sum\limits_{i=1}^n h_{ij}v_i$.
Insbesondere sieht $B$ so aus:
$B= \pmat{ h_{m+1,m+1} & \ldots & h_{m+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ h_{n,m+1} & \ldots & h_{nn}}$.
Nun behaupten wir, dass $B$ die Matrixdarstellung von $\overline{f}:V/U \to V/U$ ist.
Es gilt nämlich für alle $j=m+1,\ldots,n$:
$f(v_j+U)$
$= \sum\limits_{i=1}^n h_{ij} v_i + U$
$ = \sum\limits_{i=m+1}^n h_{ij} v_i+U$
(denn $\sum\limits_{i=1}^m h_{ij} v_i \in U$)
$= \sum\limits_{i=m+1}^n h_{ij} (v_i+U)$,
womit die (Zwischen-)Behauptung gezeigt wäre.
Die Gesamtbehauptung folgt nun aus dem Determinantenmultiplikationssatz für Blockmatrizen.
Viele Grüße
Julius
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