det(A)=0 < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei A [mm] =(a_{ij} \in M_{nn}(K).
[/mm]
Es gelte [mm] \summe_{j=1}^{n} (a_{ij}) [/mm] = 0 für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n.
Beweisen Sie, dass det(A)=0 gilt. |
Mir fehlt hier leider schon ne Lösungsidee.
Kann mir jemand helfen und die Aufgabe etwas beleuchten?
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Hallo Aquilera,
> Sei K ein Körper und sei A [mm]=(a_{ij} \in M_{nn}(K).[/mm]
> Es
> gelte [mm]\summe_{j=1}^{n} (a_{ij})[/mm] = 0 für alle 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm]
> n.
>
> Beweisen Sie, dass det(A)=0 gilt.
> Mir fehlt hier leider schon ne Lösungsidee.
> Kann mir jemand helfen und die Aufgabe etwas beleuchten?
Löse die Gleichung
[mm]\summe_{j=1}^{n}{a_{ij}}=0[/mm]
nach einer Variablen auf, und setze dies dann in die Matrix ein.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
> Löse die Gleichung
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n}{a_{ij}}=0[/mm]
>
> nach einer Variablen auf, und setze dies dann in die Matrix
> ein.
>
> Gruß
> MathePower
Also gilt [mm] -\summe_{j=2}^{n}{a_{ij}}=a_{i1}.
[/mm]
Das schreibe ich nun für alle Elemente der ersten Spalte?!
Ist mein Ziel, die MAtrix auf strenge obere Dreiecksform zu bringen, d.h. so umzuformen, daß ich auf der determinante nur 0en habe?
(ich hab echt Probleme mit derart abstrakten Matrizen :( )
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Hallo Aquilera.
> > Löse die Gleichung
> >
> > [mm]\summe_{j=1}^{n}{a_{ij}}=0[/mm]
> >
> > nach einer Variablen auf, und setze dies dann in die Matrix
> > ein.
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Also gilt [mm]-\summe_{j=2}^{n}{a_{ij}}=a_{i1}.[/mm]
> Das schreibe ich nun für alle Elemente der ersten Spalte?!
> Ist mein Ziel, die MAtrix auf strenge obere Dreiecksform zu
> bringen, d.h. so umzuformen, daß ich auf der determinante
> nur 0en habe?
Letzteres ist das Ziel.
Hierbei reicht es schon eine Nullzeile/-spalte zu erzeugen.
>
> (ich hab echt Probleme mit derart abstrakten Matrizen :( )
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Di 25.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
Ich komm leider nicht klar mit der matrix.... welche gestalt hat sie und wie komm ich zu der nullzeile?
Ich bekomm einfach kein klares bild von der gestalt der matrix :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Di 25.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Susann!
> Ich komm leider nicht klar mit der matrix.... welche
> gestalt hat sie und wie komm ich zu der nullzeile?
Wenn ich mich nicht irre, kommst du zu einer Nullspalte. Deine Gleichungen besagen doch, daß die 1. Spalte die negative Summe der anderen Spalten ist. Also kannst du alle anderen Spalten zur 1. addieren, das ändert nicht die Determinante, und du hast eine Nullspalte.
> Ich bekomm einfach kein klares bild von der gestalt der
> matrix :(
Mach es mal explizit mit einer 2x2-Matrix, das hilft vielleicht.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
Also, ich habe mir die Lösung mal versucht an einer 2x2 matrix zu veranschaulichen.
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ -2 & 2 } [/mm] als Beispiel. hierfür ist die aussage mit der nullzeile/spalte richtig, allerdings auch nur dann wenn ich geeignet multipliziere.
bei einer 3x3 matrix ist mir das schon nimmer so offensichtlich klar....
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -7 \\ 4 & 1 & -5}
[/mm]
hier ist doch keine spaltensumme 0 ..... ich komme auch nie komplett zu einer nullspalte. bei mri bleibt immer ein element stehen, sofern ich den gaußalgorithmus anwende.... aber der arbeitet doch immer mit konkreten zahlen und ich habe doch nur dieses summenzeichen als gedachten eintrag in meiner matrix.....
ich erhalte auch durch einfache addition keine nullzeile, erst mit dem gauß....
im prinzip wäre nullzeile bzw nullspalte auch egal, denn ich kann zur not die matrix ja noch transponieren.....
aber ich hab grade ein "0" problem :(
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> Also, ich habe mir die Lösung mal versucht an einer 2x2
> matrix zu veranschaulichen.
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ -2 & 2 }[/mm] als Beispiel. hierfür ist die
> aussage mit der nullzeile/spalte richtig, allerdings auch
> nur dann wenn ich geeignet multipliziere.
>
> bei einer 3x3 matrix ist mir das schon nimmer so
> offensichtlich klar....
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -7 \\ 4 & 1 & -5}[/mm]
>
> hier ist doch keine spaltensumme 0 ..... ich komme auch nie
> komplett zu einer nullspalte. bei mri bleibt immer ein
> element stehen, sofern ich den gaußalgorithmus anwende....
> aber der arbeitet doch immer mit konkreten zahlen und ich
> habe doch nur dieses summenzeichen als gedachten eintrag in
> meiner matrix.....
>
> ich erhalte auch durch einfache addition keine nullzeile,
> erst mit dem gauß....
>
> im prinzip wäre nullzeile bzw nullspalte auch egal, denn
> ich kann zur not die matrix ja noch transponieren.....
>
> aber ich hab grade ein "0" problem :(
Deine Matrix ist eigentlich
[mm]\pmat{ \red{-}1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -7 \\ 4 & 1 & -5}[/mm]
Und gerade weil du jetzt die letzte Spalte so gewählt hast, dass sie immer alles "zu 0 ausgleicht", kannst du wunderbar sehen dass
-Spalte1 -Spalte2 = Spalte3
ist. Allgemein kann man dann schreiben dass immer die Summe der Spalten 0 ergibt, also
Spalte1 + Spalte2 + Spalte3 + ... + Spalte n = 0
Und da sieht man sofort, dass die linear abhängig sind (wenn man die Spalten als Vektoren auffasst), weil ich ja sofort nach einer beliebigen Spalte umstellen könnte, die dann durch die anderen erzeugt wird 
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
Das ist mir nun so weit klar, aber letztlich bleibt doch in der dritten spalte in meinem Beispiel mindestens ein element [mm] \not= [/mm] 0 stehen ?! und damit wird doch mein detA auch nicht zwingend 0
wo ist der knoten im hirn den ich nciht wegbekomme?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das ist mir nun so weit klar, aber letztlich bleibt doch in
> der dritten spalte in meinem Beispiel mindestens ein
> element [mm]\not=[/mm] 0 stehen ?! und damit wird doch mein detA
> auch nicht zwingend 0
> wo ist der knoten im hirn den ich nciht wegbekomme?!
es gilt der Satz:
"Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist detB = detA."
(Quelle: ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Determinante)
Diesen Satz demonstriere ich mal an Deinem Beispiel:
[mm] $A=\pmat{ -1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -7 \\ 4 & 1 & -5} [/mm] $ und [mm] $B_1=\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 3 & 7 & -7 \\ 4 & 5 & -5}$ [/mm] haben die gleiche Determinante, da sich [mm] $B_1$ [/mm] so ergibt, dass man das [mm] $\,1\,$-fache [/mm] der ersten Spalte von [mm] $\,A\,$ [/mm] zu der zweiten Spalte von [mm] $\,A\,$ [/mm] addiert.
Nächster Schritt:
Addiere nun das [mm] $\,1\,$-fache [/mm] der zweiten Spalte von [mm] $B_1$ [/mm] zu der dritten Spalte von [mm] $B_1$, [/mm] nenne diese Matrix [mm] $B_2$:
[/mm]
[mm] $B_2=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 5 & 0}$
[/mm]
[mm] $B_2$ [/mm] hat die gleiche Det. wie [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_1$ [/mm] die gleiche wie [mm] $\,A\,$. [/mm] Offensichtlich ist aber [mm] $\det(B_2)=0$ [/mm] (Nullspalte!) und damit auch [mm] $\det(A)=0$.
[/mm]
Generell hier:
Deine Matrix $A$ läßt sich schreiben als
[mm] $$A=\pmat{ - \summe_{j=2}^{n} a_{1j} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ -\summe_{j=2}^{n} a_{2j} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \\-\summe_{j=2}^{n} a_{nj} & a_{n2} & ... &a_{nn}}$$
[/mm]
Und obiger Hilfssatz (von Wiki) besagt z.B.:
Schreiben wir [mm] $A_1,...,A_n$ [/mm] für die Spalten von (einer $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix) [mm] $\,A\,$, [/mm] so gilt:
[mm] $$\det(A)=\det(A_1,...,A_k,...A_n)=\det(A_1,...,\lambda*A_j+A_k,...,A_n)\,,\;\text{ wobei } [/mm] 1 [mm] \le [/mm] k,j [mm] \le [/mm] n, k [mm] \not=j.$$
[/mm]
Diese Behauptung ergibt sich sofort aus der Mulilinearität von Determinanten, und weil die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Spalten [mm] $\,0\,$ [/mm] ist (das folgt, weil eine Determinante alternierend ist, z.B. so:
Sei [mm] $A_k=A_l$ [/mm] mit $1 [mm] \le [/mm] k,l [mm] \le [/mm] n, [mm] \;k \not=l$. [/mm] O.E. sei $k [mm] \,<\, [/mm] l$. Dann ist [mm] $\det(A)=\det(A_1,...,A_k,...,A_l,...,A_n)=-\det(A_1,...,A_l,...,A_k,...,A_n)=-\det(A)\,.$) [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Do 27.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
Ich habe es mal in abgewandelter Form übernommen, aber es hat mir super geholfen. Vielen Dank nochmal :)
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Dieters Lösung ist einfach und elegant.
Ein anderer Weg wäre der Gauß-Algorithmus. Mit ihm kannst Du hier nur Zeilen erzeugen, deren Koeffizienten sich wieder zu Null addieren.
Insbesondere ist es also nicht möglich, eine Zeile zu erzeugen, in der nur noch ein Koeffizient [mm] \not=0 [/mm] steht.
In der Zeilenstufenform muss daher mindestens die letzte Zeile eine Nullzeile sein.
Grüße!
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