"der weg" einer funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Sa 23.02.2013 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | | Keine Aufgabe, reine frage aus Interesse! |
Wenn ich eine Funktion [mm] f(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2 [/mm] habe und ich möchte herausfinden, "welchen weg" sie auf dem Definitionsbereich von -2 bis 3 zurücklegt, wie rechne ich sowas dann aus? Bei einer linearen Funktion ist das ja ganz einfach, da kann ich ja (wenn ich nicht falsch liege) [mm] \wurzel{x^{2}+f(x)^{2}} [/mm] berechnen und damit ist es fertig. Bei Funktionen höheren grades bin ich mir wegen der Krümmung nicht sicher. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
LG
Bquadrat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Sa 23.02.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo [mm]b^2[/mm]!
> Keine Aufgabe, reine frage aus Interesse!
> Wenn ich eine Funktion [mm]f(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2[/mm] habe und ich
> möchte herausfinden, "welchen weg" sie auf dem
> Definitionsbereich von -2 bis 3 zurücklegt, wie rechne ich
> sowas dann aus? Bei einer linearen Funktion ist das ja ganz
> einfach, da kann ich ja (wenn ich nicht falsch liege)
> [mm]\wurzel{x^{2}+f(x)^{2}}[/mm] berechnen und damit ist es fertig.
> Bei Funktionen höheren grades bin ich mir wegen der
> Krümmung nicht sicher. Kann mir bitte jemand
> weiterhelfen?
> LG
> Bquadrat
Die entsprechende Formel findest du ![[]](/images/popup.gif) hier.
In der Differentialgeometrie liegen Kurven oft in der Form [mm](x(t);y(t))[/mm] vor, wobei die Koordinaten der Kurvenpunkte die Werte der Funktionen x(t), bzw. y(t) sind. Man spricht da von einer Parametrisierung. Es gibt verschiedene (unendlich viele) Parametrisierungen für ein und dieselbe Kurve.
Bei deiner Funktion wäre [mm]x(t)=t[/mm] und [mm]y(t)=t^3-2t^2-t+2[/mm]. Für die Länge der Kurve im Intervall [-2;3] gilt [mm]L=\int_{-2}^3\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt=\int_{-1}^3\sqrt{1 + y'^2(t)}dt[/mm] (siehe Formel im Link).
Das darf man machen, wenn die Kurve "regulär parametrisiert" ist, d.h. für kein t im Definitionsbereich gilt x'(t)=0 und y'(t)=0 (und das ist offensichtlich bei allen Graphen von Funktionen der Fall, da x'(t)=1).
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Sa 23.02.2013 | | Autor: | bquadrat |
Ah okay Dankeschön :) hätte noch eine Frage. Könnte ich berechnen an welcher stelle x die kurve z.b. 5cm lang ist, wenn sie bei 0 startete, bzw:
[mm] L=5=\integral_{0}^{b}{\wurzel{1+(f'(x))^{2}} dx}
[/mm]
?
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Hallo,
> Ah okay Dankeschön :) hätte noch eine Frage. Könnte ich
> berechnen an welcher stelle x die kurve z.b. 5cm lang ist,
> wenn sie bei 0 startete, bzw:
> [mm]L=5=\integral_{0}^{b}{\wurzel{1+(f'(x))^{2}} dx}[/mm]
> ?
Ja klar, der Ansatz ist völlig richtig. Das Problem der Kurvenlänge führt halt relativ oft auf Integrale, für die es keine geschlossene Stammfunktion gibt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Di 26.02.2013 | | Autor: | bquadrat |
Danke :)
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