delta epsilon bestimmen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Do 19.11.2009 | | Autor: | Steirer |
| Aufgabe | Für die nachstehenden Funktionen ist zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta_{ \varepsilon} [/mm] so zu bestimmen dass aus [mm] |x-x_{0}|<\delta_{ \varepsilon} [/mm] die Beziehung [mm] |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon [/mm] folgt.
a) f(x)= [mm] \bruch{1}{x}, D(f)=(0,\infty)
[/mm]
b) [mm] f(x)=\wurzel{4+x^2}, D(f)=\IR
[/mm]
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a) ich bin mir nicht sicher wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Angefangen habe ich mit folgendem:
[mm] |f(x)-f(x_{0})|=|\bruch{1}{x} -\bruch{1}{x_{0}}|=|\bruch{x-x_{0}}{x*x_{0}}=....
[/mm]
da weis ich jetzt nicht wie ich weitermachen soll.
bei b) weis ich auch nicht weiter:
[mm] |\wurzel{4+x^2}-\wurzel{4+x^2_{0}}|=|4+x^2-4-x^2_{0}|=|x^2-x^2_{0}|
[/mm]
was soll ich jetzt bei beiden Beispielen weiter zeigen damit ich auf mein delta epsilon komme?
Danke.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Fr 20.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
im ersten Fall hast du da doch schon [mm] \bruch{\delta}{x*x*0} [/mm] stehen. jetzt mach ne erste Einschränkung für [mm] \delta, [/mm] so dass x und x*o nicht zu verschieden sind, nur in der Nähe von 0 aufpassen, aber es gilt ja x_=>0 du kannst also [mm] \delta
und dann hast du ein zweites [mm] \delta, [/mm] dann nimmst du von den zweien das Minimum.
>
> bei b) weis ich auch nicht weiter:
> [mm]|\wurzel{4+x^2}-\wurzel{4+x^2_{0}}|=|4+x^2-4-x^2_{0}|=|x^2-x^2_{0}|[/mm]
Das ist einfach falsch, du kannst doch nicht einfach die Wurzeln weglassen? erweitere mit [mm] \wurzel{4+x^2}+\wurzel{4+x^2_{0}} [/mm]
Dann wieder irendwie auf [mm] \delta=|x-x_0| [/mm] kommen und es so (von x abh. wählen, dass kleiner [mm] \epsilon [/mm] rauskommt.
[mm] \delta [/mm] hängt fast immer von [mm] x_0 [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] ab.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Steirer |
> Hallo
> im ersten Fall hast du da doch schon [mm]\bruch{\delta}{x*x*0}[/mm]
kannst du mir bitte erklären wie du auf [mm]\bruch{\delta}{x*x*0}[/mm] kommst?
Ich seh das leider nicht.
> stehen. jetzt mach ne erste Einschränkung für [mm]\delta,[/mm] so
> dass x und x*o nicht zu verschieden sind, nur in der Nähe
> von 0 aufpassen, aber es gilt ja x_=>0 du kannst also
> [mm]\delta
> und dann hast du ein zweites [mm]\delta,[/mm] dann nimmst du von
> den zweien das Minimum.
> >
> > bei b) weis ich auch nicht weiter:
> >
> [mm]|\wurzel{4+x^2}-\wurzel{4+x^2_{0}}|=|4+x^2-4-x^2_{0}|=|x^2-x^2_{0}|[/mm]
> Das ist einfach falsch, du kannst doch nicht einfach die
> Wurzeln weglassen? erweitere mit
> [mm]\wurzel{4+x^2}+\wurzel{4+x^2_{0}}[/mm]
> Dann wieder irendwie auf [mm]\delta=|x-x_0|[/mm] kommen und es so
> (von x abh. wählen, dass kleiner [mm]\epsilon[/mm] rauskommt.
> [mm]\delta[/mm] hängt fast immer von [mm]x_0[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] ab.
> Gruss leduart
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Fr 20.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Tipfehler, den du hättest aus dem Rest erschliessen können natürlich [mm] x*x_0 [/mm] im Nenner nicht x*x.0
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Steirer |
> > Hallo
> > im ersten Fall hast du da doch schon
> [mm]\bruch{\delta}{x*x*0}[/mm]
>
ok ich hab also [mm] \bruch{\delta}{x*x_{0}}
[/mm]
mir ist nicht klar was du meinst mit einschränkung.
meinst du vieleicht folgendes:
[mm] |\bruch{\delta}{x*x_{0}}|\le|\bruch{\delta}{(\delta+x_{0})*x_{0}}|\le \varepsilon
[/mm]
so wie forme ich jetzt weiter um und warum kann ich [mm] \delta<\bruch{x_{0}}{2} [/mm] wählen füt [mm] \delta [/mm] ?
>
> > stehen. jetzt mach ne erste Einschränkung für [mm]\delta,[/mm] so
> > dass x und x*o nicht zu verschieden sind, nur in der Nähe
> > von 0 aufpassen, aber es gilt ja x_=>0 du kannst also
> > [mm]\delta
> > und dann hast du ein zweites [mm]\delta,[/mm] dann nimmst du von
> > den zweien das Minimum.
> > >
> > > bei b) weis ich auch nicht weiter:
> > >
> >
> [mm]|\wurzel{4+x^2}-\wurzel{4+x^2_{0}}|=|4+x^2-4-x^2_{0}|=|x^2-x^2_{0}|[/mm]
> > Das ist einfach falsch, du kannst doch nicht einfach
> die
> > Wurzeln weglassen? erweitere mit
> > [mm]\wurzel{4+x^2}+\wurzel{4+x^2_{0}}[/mm]
> > Dann wieder irendwie auf [mm]\delta=|x-x_0|[/mm] kommen und es so
> > (von x abh. wählen, dass kleiner [mm]\epsilon[/mm] rauskommt.
> > [mm]\delta[/mm] hängt fast immer von [mm]x_0[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] ab.
> > Gruss leduart
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 20.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst doch ein [mm] \delta [/mm] finden, so dass du [mm] <\epsilon [/mm] rauskriegst. wie du das [mm] \delta [/mm] wählst ist dir überlassen.
also kannst du sagen ich nimm erstmal [mm] \delta0, [/mm] also [mm] x_0/2>0
[/mm]
dann hast du ne Ungleichung, in der nur noch [mm] x_0, [/mm] delta und [mm] \epsilon [/mm] vorkommt. daraus rechnest du [mm] \delta(x_0,\epsilon) [/mm] aus.
dann hast du 2 Bedingungen für [mm] \delta, [/mm] und musst das kleinere nehmen, dein endgültiges [mm] \delta, [/mm] ist also [mm] Min(x_0/2,\delta(x_0,\epsilon))
[/mm]
Gruss leduart
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