delta-epsilon-kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Fr 06.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
ich habe mal eine allgemeine Frage zum Delta-epsilon kriterium der Stetigkeit. Und zwar bin ich etwas im Unklaren,
warum das gesuchte delta nicht von x abhängen darf!? Kann mir das jemand erklären?
Und was würde es bedeuten, wenn ich ein delta finden würde, welches doch von x abhängt?
Auch frage ich mich folgendes für den Punkt [mm] x_0: [/mm] Offensichtlich hängt ja das delta im Allgemeinen von diesem Punkt ab.
Muss das immer so sein oder reicht es auch ein delta zu finden, welches nicht von [mm] x_0 [/mm] abhängt?
Vielen Dank schon mal und viele Grüße,
Yonca
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Fr 06.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Stetigkeit einer Funktion bedeutet doch intuitiv, dass in einem unendlich kleinen Umfeld eines Punktes P wieder ein Punkt gefunden werden kann.
Wieso sollte epsilon von x abhängen? Sollte es also grössere und kleinere epsilon geben? Es gibt keinen Grund dafür, da epsilon unendlich klein werden darf.
Das Delta von [mm] x_{0} [/mm] abhängt würde ich so (im Allgemeinen) nicht ausdrücken. Es sind ja keine Funktionen wie "Funktion delta(epsilon)". Es ist keine Abhängigkeit in dem sinn. Der Satz über die gleichmässige Stetigkeit lässt dem Epsilon und dem Delta ja eben eine Freiheit, die man beliebig verkleinern kann, indem man beide laufend angepasst verkleinert.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Fr 06.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
> Stetigkeit einer Funktion bedeutet doch intuitiv, dass in
> einem unendlich kleinen Umfeld eines Punktes P wieder ein
> Punkt gefunden werden kann.
Was für einen Punkt P meinst du genau. Wenn man mal beispielsweise die Funktion
f: D [mm] \to [/mm] W (mit D = W = [mm] \IR), [/mm] x [mm] \mapsto x^2 [/mm] nimmt.
Soll dann in deiner Aussage P [mm] \in [/mm] D oder P [mm] \in [/mm] W gelten?
Ich denke mal du meinst mit P einen Punkt des Wertebereichs einer Funktion, oder? Aber dann kann man deine Aussage doch nicht einfach als intiutive "Definition" für die Stetigkeit hernehmen. Denn es gibt doch auch Funktionen mit einer stetig behebbaren Definitionslücke. Auf die würde deine Aussage dann ja auch für den Punkt P [mm] \in [/mm] D zutreffen, obwohl sie dort nicht stetig ist.
> Wieso sollte epsilon von x abhängen? Sollte es also
> grössere und kleinere epsilon geben? Es gibt keinen Grund
> dafür, da epsilon unendlich klein werden darf.
Ich hatte nicht geschrieben das epsilon von x abhängen soll. Ein epsilon muss ja auch gar nicht bestimmt werden, wenn ich die Stetigkeit nachweisen will. Es muss ja nur gezeigt werden, dass für ein beliebig kleines positives epsilon ein delta existiert, so dass folgendes gilt: [mm] \left| x - x_0 \right| [/mm] < [mm] \delta \to \left| f(x) - f(x_0) \right| [/mm] < [mm] \epsilon. [/mm] Die Voraussetzung ist ja, dass das epsilon beliebig klein gewählt werden können soll und dann immer noch ein delta gefunden werden kann, für das die Implikation erfüllt ist. Dementsprechend muss dann ja das zu findende delta von epsilon abhängen. Nach dem epsilon hatte ich allerdings auch gar nicht gefragt, sondern nach der Abhängigkeit des deltas.
>
> Das Delta von [mm]x_{0}[/mm] abhängt würde ich so nicht
> ausdrücken. Es ist keine Abhängigkeit in dem sinn. Der
> Satz über die Stetigkeit lässt dem Epsilon und dem Delta
> ja eben eine Freiheit, die man beliebig verkleinern kann.
>
Dementsprechend bin ich leider noch nicht viel schlauer was die Abhängigkeit des deltas anbelangt.
Vielleicht kann mir ja doch noch mal jemand helfen.
Viele Grüße und vielen Dank schon mal,
Y.
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Hallo^^
> > Stetigkeit einer Funktion bedeutet doch intuitiv, dass in
> > einem unendlich kleinen Umfeld eines Punktes P wieder ein
> > Punkt gefunden werden kann.
>
> Was für einen Punkt P meinst du genau. Wenn man mal
> beispielsweise die Funktion
> f: D [mm]\to[/mm] W (mit D = W = [mm]\IR),[/mm] x [mm]\mapsto x^2[/mm] nimmt.
> Soll dann in deiner Aussage P [mm]\in[/mm] D oder P [mm]\in[/mm] W gelten?
per definition ist für f:D [mm] \to [/mm] W P [mm] \in [/mm] D.
> Dementsprechend bin ich leider noch nicht viel schlauer was
> die Abhängigkeit des deltas anbelangt.
> Vielleicht kann mir ja doch noch mal jemand helfen.
Ja, wir suchen für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0, welches nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt.
Vielleicht mal am Beispiel von [mm] f(x)=x^2 [/mm] mit stetigkeit im Punkt [mm] x_0=0:
[/mm]
zz: [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow |x-x_0|<\delta. [/mm]
daher gilt:
[mm] |x^2-0| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] |x-0|<\delta. [/mm]
also
[mm] |x^2| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] |x|<\delta. [/mm]
[mm] \Rightarrow |x^2|=|x|*|x|<\delta *\delta [/mm] = [mm] \delta^2<\varepsilon
[/mm]
also kann man [mm] \delta:=\varepsilon^{\bruch{1}{2}} [/mm] setzen.
Wenn du jetzt also [mm] |x|<\delta [/mm] hast mit [mm] \delta:=\varepsilon^{\bruch{1}{2}}, [/mm] dann ist [mm] |x|<\varepsilon^{\bruch{1}{2}}, [/mm] also [mm] |x|^2<\varepsilon^{\bruch{1}{2}}*\varepsilon^{\bruch{1}{2}}=\varepsilon, [/mm] was du ja zeigen wolltest....
Jetzt klarer??
LG
pythagora
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 08:40 Sa 07.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du kannst das von Dir gewählte [mm] \delta [/mm] nicht auf jeden Punkt des Definitionsbereichs der Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] anwenden. Nehme z.B. [mm] x_0=10 [/mm] und [mm] \epsilon=1 [/mm] dann würde nach Deiner Argumentation folgen das gelten soll
[mm] f\left(U_{\delta}\left(x_0\right)\right) \subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(x_0\right)\right) [/mm] wobei [mm] U_{\delta}\left(x_0\right) [/mm] eine [mm] \delta [/mm] Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ist und [mm] U_{\epsilon}\left(f\right(x_0\left)\right) [/mm] eine [mm] \epsilon [/mm] Umgebung von [mm] f(x_0) [/mm] ist mit [mm] \delta=\epsilon^{\bruch{1}{2}}=1
[/mm]
Das ist aber falsch, denn [mm] f\left(U_{\delta}\left(x_0\right)\right)=\{x | x\ge 81 \mbox{ und } x\le 121\} [/mm] wohingegen [mm] U_{\epsilon}\left(f\left(x_0\right)\right)=\{x | x\ge 99 \mbox{ und } x\le 101\} [/mm] ist, also ist [mm] f\left(U_{\delta}\left(x_0\right)\right) \not\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(x_0\right)\right)
[/mm]
Also hängt das von Dir gewählte [mm] \delta [/mm] doch von [mm] x_0 [/mm] ab.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 09:54 Sa 07.05.2011 | | Autor: | pythagora |
Jop,
hast natürlich recht, da man ja auch mit [mm] x_0 [/mm] rechnet ist das logischer Weise natürlich immer auf den Punkt [mm] x_0 [/mm] bezogen, den man einsetzt....
Danke für's Bemerken, war wohl schlecht ausgedrückt
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Fr 06.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du untersuchst die Stetigkeit einer Funktion in der Regel an eine bestimmten Stelle, z.B. [mm] x_0. [/mm] Wenn die Funktion stetig ist kann [mm] \delta [/mm] sowohl von [mm] \epsilon [/mm] als auch von [mm] x_0 [/mm] abhängen und man sagt die Funktion ist punktweise stetig. Zu unterscheiden von der punktweisen Stetigkeit ist die gleichmäßigen Stetigkeit. Hier hängt [mm] \delta [/mm] nicht mehr von [mm] x_0 [/mm] ab sondern höchstens noch von [mm] \epsilon, [/mm] siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier
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