delta-epsilon-Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man beweise mit Hilfe des [mm] \delta, \varepsilon-Kriteriums, [/mm] dass die Funktion f(x) = [mm] \frac{x^2-1}{x+3} [/mm] an [mm] x_0 [/mm] = 0 stetig ist. Man bestimme ein [mm] \delta [/mm] für [mm] \varepsilon= [/mm] 1/10. |
Ich kam zu:
| f(x) - [mm] f(x_0) [/mm] |< [mm] \delta [/mm] * [mm] |\frac{x}{x+3}| [/mm] < [mm] \varepsilon=1/10
[/mm]
[mm] \delta [/mm] darf ja nicht von x abhängig sein?
aber |x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] also könnte ich ja weiterabschätzen und überall wo ein x ist eine [mm] \delta [/mm] hinschreiben?
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Hallo theresetom,
> Man beweise mit Hilfe des [mm]\delta, \varepsilon-Kriteriums,[/mm]
> dass die Funktion f(x) = [mm]\frac{x^2-1}{x+3}[/mm] an [mm]x_0[/mm] = 0
> stetig ist. Man bestimme ein [mm]\delta[/mm] für [mm]\varepsilon=[/mm]
> 1/10.
>
> Ich kam zu:
> | f(x) - [mm]f(x_0)[/mm] |< [mm]\delta[/mm] * [mm]|\frac{x}{x+3}|[/mm] <
Wie das? Rechenschritte?
Es ist doch [mm]|f(x)-f(0)|[/mm] abzuschätzen, das ist erstmal
[mm]\left|\frac{x^2-1}{x+3}-\left(-\frac{1}{3}\right)\right|=\left|\frac{3x^2+x}{3(x+3)}\right|\overset{!}{<}\frac{1}{10}[/mm]
> [mm]\varepsilon=1/10[/mm]
> [mm]\delta[/mm] darf ja nicht von x abhängig sein?
Ja, nur von [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]x_0[/mm]
> aber |x - [mm]x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] also könnte ich ja
> weiterabschätzen und überall wo ein x ist eine [mm]\delta[/mm]
> hinschreiben?
Wie meinst du das?
Gruß
schachuzipus
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Hei
> $ [mm] \left|\frac{x^2-1}{x+3}-\left(-\frac{1}{3}\right)\right|=\left|\frac{3x^2+x}{3(x+3)}\right|\overset{!}{<}\frac{1}{10} [/mm] $
Ich meine [mm] x-x_0 [/mm] < [mm] \delta [/mm] <=> x < [mm] \delta
[/mm]
so könne man doch weiter abschätzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:58 Do 05.01.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hei
> >
> [mm]\left|\frac{x^2-1}{x+3}-\left(-\frac{1}{3}\right)\right|=\left|\frac{3x^2+x}{3(x+3)}\right|\overset{!}{<}\frac{1}{10}[/mm]
>
> Ich meine [mm]x-x_0[/mm] < [mm]\delta[/mm] <=> x < [mm]\delta[/mm]
> so könne man doch weiter abschätzen?
Nein. Beachte auch negative $x$! Du mußt die Ungleichung
$|f(x)-f(0)| < 1/10$ solange aus Ungleichungen folgern, bis Du links $|x|$ und rechts eine Zahl stehen hast. Diese Zahl ist dann Dein [mm] $\delta$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Do 05.01.2012 | | Autor: | theresetom |
Vielen Dank
LG
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