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ich habe eine frage zur pos. definitheit einer matrix. wikipedia.org sagt mir dass eine matrix pos. definit heisst wenn jede haupuntermatrix, also jede quadratische nordwestliche matrix positiv ist. meine frage ist dazu wie diese positiv zu verstehen ist. ist es das gleiche positiv wie pos. definit? das kann ich mir nicht vorstellen...ich hoffe auf antworten. dankeschön...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Di 05.07.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hey,
was eine nordwestliche Matrix ist, naja, dass weiß ich auch nicht, aber ich kann dir sagen wie man pos.def. ausrechnet.
Sei [mm] A:=\pmat{ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 8 & 0 \\ 5 & 6 & 4}
[/mm]
Eigentlich ne blöde Matrix, aber ich habe einfach mal auf die Tastatur gekloppt.
So, laut Jacobi ist eine Matrix pos.def, wenn ALLE Determinaten von den Minoren positiv ist. (Falls alle det [mm] A_{j}>0 [/mm] mit j=1,2,3)
Also, da dieses eine (3x3)-Matrix ist, musst du 3 Minoren nachrechnen.(ich weiß jetzt nicht ob die Minoren heißen, oder minoranten.......irgendwie sowas).
So, also
[mm] A_{1}:=\pmat{ 3 }
[/mm]
det [mm] A_{1}=3, [/mm] also > 0.
[mm] A_{2}:=\pmat{ 3 & 2 \\ 1 & 8 }
[/mm]
det [mm] A_{2}=22 [/mm] >0
[mm] A_{3}=A:=\pmat{ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 8 & 0 \\ 5 & 6 & 4}
[/mm]
det [mm] A_{3}=det [/mm] A=-48 also <0
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Matrix A ist nicht positiv definit.
Also, wäre die Determinante von det [mm] A_{3}>0, [/mm] dann wäre die Matrix A positiv definit, ist jedoch ein einziges det [mm] A_{j}<0 \Rightarrow [/mm] die Matrix A ist nicht positiv definit.
Hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.
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Hallo und einen schönen guten Tag erst einmal!
> ich habe eine frage zur pos. definitheit einer matrix.
Deine nordwestlichen Matrizen sind mir eher unklar, aber ich sag' Dir, was mir zu pos. definiten Matrizen einfällt:
A ist pos. def. <==> x^tAx>0 für alle Vektoren x, die Null ausgenommen <==> alle Eigenwerte von A sind positiv.
Gruß v. Angela
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