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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mi 20.03.2013 | | Autor: | love |
Hallo. Ich brauche kurz Hilfe
Für die Basen B= {(-1,23),(-1,0,1)(2,3,2)} und C={(1,2)(0,3} sei die lineare Abbildung gegeben [mm] \lambda [/mm] durch die darstellende Matrix [mm] M=\pmat{ 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 1 }. [/mm] Bestimmen Sie [mm] \lambda [/mm] (0,5,6).
MEine Idee ist ich scheibe zunächst die Zahlen in der darstellenden Matrx als Linearkombination auf.
x1-x2+x3
x2+x3 .Nun setze ich die Zahlen 0, 5, 6 ein und fertig:) Keine Ahnung ob das jetzt richtig ist.Ich freue mich über eine Anwort.Ist aber bestimmt falsch, weil so leicht kann es nicht sein oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Mi 20.03.2013 | | Autor: | love |
Kann mir bitte jmnd weiterhelfen..Wenigstens Tipps geben
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Hallo,
> Hallo. Ich brauche kurz Hilfe
> Für die Basen B= {(-1,2,3),(-1,0,1),(2,3,2)} und
> C={(1,2),(0,3)} sei die lineare Abbildung gegeben [mm]\lambda[/mm]
> durch die darstellende Matrix [mm]M=\pmat{ 1 & -1 & 1\\
0 & 1 & 1 }.[/mm]
> Bestimmen Sie [mm]\lambda[/mm] (0,5,6).
> MEine Idee ist ich scheibe zunächst die Zahlen in der
> darstellenden Matrx als Linearkombination auf.
> x1-x2+x3
> x2+x3 .Nun setze ich die Zahlen 0, 5, 6 ein und
> fertig:) Keine Ahnung ob das jetzt richtig ist.Ich freue
> mich über eine Anwort.Ist aber bestimmt falsch, weil so
> leicht kann es nicht sein oder?
Nein, das ist nicht richtig.
Die Abbildung [mm] $\lambda$ [/mm] ist eine Abbildung [mm] $\lambda:\IR^{3} \to \IR^2$, [/mm] und du sollst jetzt den Vektor $x = [mm] (0,5,6)\in \IR^3$ [/mm] reinstecken. Dieser Vektor $x$ ist in der Standardbasis [mm] $(e_1,e_2,e_3)$ [/mm] des [mm] $\IR^{3}$ [/mm] gegeben. (D.h. $x = [mm] 0*e_1 [/mm] + [mm] 5*e_2 [/mm] + [mm] 6*e_3$).
[/mm]
Am Ende sollst du auch wieder einen Vektor in [mm] $\IR^2$, [/mm] bzgl. der Standardbasis [mm] $(e_1,e_2)$ [/mm] angeben.
Die Darstellungsmatrix $M$ stellt die Abbildung [mm] $\lambda$ [/mm] aber NICHT bzgl. der Standardbasen dar, sondern bzgl. der "komplizierteren" Basen B und C. Damit du diese Matrix also überhaupt benutzen und damit [mm] $\lambda(x)$ [/mm] ausrechnen kannst, musst du $x$ in der Basis $B = [mm] (b_1,b_2,b_3)$ [/mm] darstellen.
D.h. finde [mm] $\mu_1,\mu_2,\mu_3$ [/mm] sodass $x = [mm] \mu_1*b_1 [/mm] + [mm] \mu_2*b_2 [/mm] + [mm] \mu_3*b_3$ [/mm] (das ist ein LGS).
Dann weißt du, dass $x$ bzgl. der Basis B den Koordinatenvektor [mm] $(\mu_1,\mu_2,\mu_3)$ [/mm] hat. Berechne nun [mm] $(\rho_1,\rho_2) [/mm] := [mm] M*(\mu_1,\mu_2,\mu_3)$.
[/mm]
[mm] $(\rho_1,\rho_2)$ [/mm] ist nun der Koordinatenvektor von [mm] $\lambda(x)$ [/mm] bzgl. der Basis C. (Weil M ja Darstellungsmatrix bzgl. der Basen B und C ist, gibt sie das Ergebnis in Koordinatenvektoren bzgl. Basis $C = [mm] (c_1,c_2)$ [/mm] aus.)
Das Ergebnis ist also:
[mm] $\lambda(x) [/mm] = [mm] \rho_1*c_1 [/mm] + [mm] \rho_2*c_2$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mi 20.03.2013 | | Autor: | love |
erst mal vielen Dank.Also ich hab jetzt versucht die Aufgabe zu machen.
Drücke zuerst x1,x2,x3 als Linearkombination von {(-1,2,3),(-1,0,1),(2,3,2)}
x1e1+x2e2+x3e3=k1(-1,2,3)+k2(-1,0,1)+k3(2,3,2)
Als LGS kommt raus -k1-k2+2k3=x1
2k1+3k3=x2
3k1+k2+2k3=x3 und dann löse ich das LGS:als k1 = -3/2x1+2x2-3/2x3
k2=5/2x1-4x2+7/2x3 und als k3=x1-x2+x3 habe ich raus und nun weiss ich nicht weiter
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Hallo,
> erst mal vielen Dank.Also ich hab jetzt versucht die
> Aufgabe zu machen.
> Drücke zuerst x1,x2,x3 als Linearkombination von
> {(-1,2,3),(-1,0,1),(2,3,2)}
> x1e1+x2e2+x3e3=k1(-1,2,3)+k2(-1,0,1)+k3(2,3,2)
Genau. Du hättest das Gleichungssystem aber nicht für allgemeines $x = [mm] (x_1,x_2,x_3)$ [/mm] lösen müssen!
Es ist doch $x = [mm] (x_1,x_2,x_3) [/mm] = (0,5,6)$ der Vektor aus der Aufgabenstellung (habe ich in meinem ersten Post geschrieben).
> Als LGS kommt raus -k1-k2+2k3=x1
> 2k1+3k3=x2
> 3k1+k2+2k3=x3
Das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> und dann löse ich das LGS:als k1 =
> -3/2x1+2x2-3/2x3
> k2=5/2x1-4x2+7/2x3 und als k3=x1-x2+x3 habe ich raus und
> nun weiss ich nicht weiter
Wenn du das x einsetzt erhältst du:
[mm] $k_1 [/mm] = 1$, [mm] $k_2 [/mm] = 1$, [mm] $k_3 [/mm] = 1$. Das heißt du weißt nun:
$x = [mm] \begin{pmatrix}0\\5\\6\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \red{1}\cdot b_1 [/mm] + [mm] \red{1} \cdot b_2 [/mm] + [mm] \red{1} \cdot b_3$.
[/mm]
Der Koordinatenvektor von $x$ bzgl. der Basis $B = [mm] (b_1,b_2,b_3) [/mm] = ((-1,2,3),(-1,0,1),(2,3,2))$ ist also:
[mm] $\red{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$.
[/mm]
Nun weiter die Anleitung befolgen 
(Hinweis: Ich hatte oben statt den k ja [mm] $\mu$ [/mm] benutzt)
Viele Grüße,
Stefan
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