darstellende Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Do 09.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, [mm] V=K^{2}, E=\{e_{1},e_{2}\} [/mm] die Standardbasis von [mm] K^{2}, [/mm] f,g [mm] \in End_{K}(V) [/mm] und A die darstellende Matrix von f bzgl. E, B die darstellende Matrix von g bzgl. E.
Man bestimme die darstellende Matrix von f [mm] \otimes [/mm] g bezüglich der Basis [mm] B=\{e_{1} \otimes e_{1},e_{1} \otimes e_{2}, e_{2} \otimes e_{2}, e_{2} \otimes e_{2}\} [/mm] von V [mm] \otmies_{k} [/mm] V. |
Hallo ^^
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter. Eigentlich weiß ich wie man die darstellende Matrix berechnet, aber hier klappts nicht.
Ich habe zunächst die Basis [mm] B=\{\vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{1 \\ 0} ,\vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1} \otimes \vektor{1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{1 \\ 0}\}.
[/mm]
Jetzt wollte ich die Bilder der einzelnen Basisvektoren berechnen,also z.B.
f [mm] \otimes g(\vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{1 \\ 0})=f(\vektor{1 \\ 0}) \otmies g(\vektor{0 \\ 1})=A*\vektor{1 \\ 0} \otimes B*\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Da ich aber nicht weiß wie A und B aussehen,kann ich nicht mehr weiterrechnen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Do 09.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib einfach ne allgemeine Matrix A mit [mm] a_{ik} [/mm] und entsprechend B
du weisst nur, dass es ein Endm. ist also die matrix nicht entartet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Fr 10.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo leduart,
> schreib einfach ne allgemeine Matrix A mit [mm]a_{ik}[/mm] und
> entsprechend B
> du weisst nur, dass es ein Endm. ist also die matrix nicht
> entartet.
Ich hab es allgemein versucht, aber jetzt gehts an einer anderen Stelle nicht mehr weiter.
Seien also [mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] und [mm] B=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] die angegebenen darstellenden Matrizen.
Ich nehme mir z.B. den ersten Basisvektor und berechne:
[mm] A*\vektor{1 \\ 0} \otimes B*\vektor{1 \\ 0}=\vektor{a_{11} \\ a_{21}} \otimes \vektor{b_{11} \\ b_{21}}.
[/mm]
Diesen will ich wieder durch die Basis darstellen,also rechne ich
[mm] a*(\vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{1 \\ 0})+b*(\vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{0 \\ 1})+c*(\vektor{0 \\ 1} \otimes \vektor{1 \\ 0})+d*(\vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{1 \\ 0}).
[/mm]
Damit erhalten ich ein LGS:
1. [mm] a+b=a_{11} [/mm]
2. [mm] c+d=a_{21}
[/mm]
3. [mm] a+c=b_{11} [/mm]
4. [mm] b+d=b_{21}
[/mm]
Wenn ich das aber lösen will, fallen die a,b,c,d immer weg und ich bekomme z.B. [mm] a_{11}-b_{11}+a_{21}-b_{21}=0 [/mm] heraus.
Das bringt mir doch nichts, denn ich brauche die a,b,c,d.
Was soll ich denn jetzt machen?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Fr 10.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo leduart,
>
> > schreib einfach ne allgemeine Matrix A mit [mm]a_{ik}[/mm] und
> > entsprechend B
> > du weisst nur, dass es ein Endm. ist also die matrix
> nicht
> > entartet.
>
>
> Ich hab es allgemein versucht, aber jetzt gehts an einer
> anderen Stelle nicht mehr weiter.
>
> Seien also [mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm]
> und [mm]B=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm] die
> angegebenen darstellenden Matrizen.
> Ich nehme mir z.B. den ersten Basisvektor und berechne:
>
> [mm]A*\vektor{1 \\ 0} \otimes B*\vektor{1 \\ 0}=\vektor{a_{11} \\ a_{21}} \otimes \vektor{b_{11} \\ b_{21}}.[/mm]
>
> Diesen will ich wieder durch die Basis darstellen,also
> rechne ich
>
> [mm]a*(\vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{1 \\ 0})+b*(\vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{0 \\ 1})+c*(\vektor{0 \\ 1} \otimes \vektor{1 \\ 0})+d*(\vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{1 \\ 0}).[/mm]
>
> Damit erhalten ich ein LGS:
>
> 1. [mm]a+b=a_{11}[/mm]
>
> 2. [mm]c+d=a_{21}[/mm]
>
> 3. [mm]a+c=b_{11}[/mm]
>
> 4. [mm]b+d=b_{21}[/mm]
Nein, das stimmt nicht. Benutze die Rechenregeln für das Tensorprodukt: Linearität und Assoziativität.
Zunächst mal ist
[mm] \vektor{a_{11} \\ a_{21}} \otimes \vektor{b_{11} \\ b_{21}} = \left(a_{11} \vektor{1 \\ 0} + a_{12} \vektor{0 \\ 1}\right) \otimes \left(b_{11} \vektor{1 \\ 0} + b_{12} \vektor{0 \\ 1}\right) [/mm] ,
und da das Tensorprodukt (bilinear und assoziativ ist:
[mm]\left(a_{11} \vektor{1 \\ 0} + a_{12} \vektor{0 \\ 1}\right) \otimes \left(b_{11} \vektor{1 \\ 0} + b_{12} \vektor{0 \\ 1}\right) = a_{11}\vektor{1 \\ 0} \otimes \left(b_{11} \vektor{1 \\ 0} + b_{12} \vektor{0 \\ 1}\right) + a_{12} \vektor{0 \\ 1}\otimes \left(b_{11} \vektor{1 \\ 0} + b_{12} \vektor{0 \\ 1}\right) [/mm] .
Dieselben Regeln nochmal angewandt:
[mm] = a_{11} b_{11} \vektor{1 \\ 0} \otimes \vektor{1 \\ 0} + a_{11} b_{21} \vektor{1 \\ 0} \otimes\vektor{0 \\ 1} + a_{21} b_{11} \vektor{0 \\ 1} \otimes \vektor{1 \\ 0} + a_{21} b_{21} \vektor{0 \\ 1} \otimes\vektor{0 \\ 1} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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