matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Abbildungendarstellende Matrix
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Abbildungen" - darstellende Matrix
darstellende Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

darstellende Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Mi 16.02.2011
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Sei f: [mm] a_{0}+a_{1}x+a_{2}+x^{2} \mapsto a_{0}+a_{1}x (a_{i},x \in \IR) [/mm] von [mm] P_{2} [/mm] in [mm] P_{1}. [/mm]

a) Berechne die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen [mm] B_{2} [/mm] und [mm] B_{1} [/mm] mit

[mm] B_{2}: \phi_{0}(x)=1, \phi_{1}(x)=x, \phi_{2}(x)=x^{2} [/mm] von [mm] P_{2} [/mm]
[mm] B_{1}: n_{0}(x)=1, n_{1}(x)=1+x [/mm] von [mm] P_{1}. [/mm]

b) Bestimme dim kern (f).

c) Zeige: f [mm] \in Hom(P_{2},P_{2}); [/mm] bestimme das Spektrum von f und ggfl's die Eigenräume.

Hallo,

ich weiß wie man die Aufgabe löst,also die Vorgehensweise, aber irgendwie komme ich nicht mehr weiter.

a) Für die darstellende Matrix muss ich zunächst die Bilder von [mm] B_{2} [/mm] berechnen. Das habe ich getan und es ist [mm] f(1)=a_{0}+a_{1}, f(x)=a_{0}+a_{1}x, f(x^{2})=a_{0}+a_{1}x^{2}. [/mm]
Diese Bilder müssen nun durch die Basis [mm] B_{1} [/mm] dargestellt werden.
Es ist [mm] f(1)=(a_{0}+a_{1})*1+0*(1+x), f(x)=a_{0}*1+y*(1+x) [/mm] (das y krieg ich nicht raus).
Und [mm] f(x^{2})=a_{0}*1+y*(1+x). [/mm] Auch hier krieg ich irgendwie das y nicht raus.
Wie kann ich denn die y rauskriegen?

zu b) Wenn ich die gesuchte Matrix M aus a) habe, kann ich die b) so lösen: Ich löse das Gleichungssystem Mx=0, indem ich die Matrix auf Stufenform bringe. dann lese ich den Rang ab und es ist n-r=dim kern(f), wobei x [mm] \in K^{n}. [/mm]

Ist es allgmein eigentlich egal, welche darstellende Matrix ich für eine Lineare Abbildung nehme, um den Rang, Dimension usw. abzulesen oder muss es die darstellende Matrix bzgl. der Standardbasis sein?

c) Das Spektrum könnte ich doch bestimmen,indem ich die Eigentwerte der in A ausgerechneten Matrix bestimme oder? Und dann die jeweiligen Eigenräume berechnen. f ist genau dann ein Hom., wenn f von [mm] P_{2} [/mm] nach [mm] P_{2} [/mm] geht und linear ist. Also muss ich nur noch zeigen, dass f linear ist?

Vielen Dank
lg

        
Bezug
darstellende Matrix: Aufgabe a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Mi 16.02.2011
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

> Sei f: [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}+x^{2} \mapsto a_{0}+a_{1}x (a_{i},x \in \IR)[/mm]
> von [mm]P_{2}[/mm] in [mm]P_{1}.[/mm]
>  
> a) Berechne die darstellende Matrix von f bezüglich der
> Basen [mm]B_{2}[/mm] und [mm]B_{1}[/mm] mit
>  
> [mm]B_{2}: \phi_{0}(x)=1, \phi_{1}(x)=x, \phi_{2}(x)=x^{2}[/mm] von
> [mm]P_{2}[/mm]
>  [mm]B_{1}: n_{0}(x)=1, n_{1}(x)=1+x[/mm] von [mm]P_{1}.[/mm]
>  
> b) Bestimme dim kern (f).
>  
> c) Zeige: f [mm]\in Hom(P_{2},P_{2});[/mm] bestimme das Spektrum von
> f und ggfl's die Eigenräume.
>  Hallo,
>  
> ich weiß wie man die Aufgabe löst,also die
> Vorgehensweise, aber irgendwie komme ich nicht mehr
> weiter.
>  
> a) Für die darstellende Matrix muss ich zunächst die
> Bilder von [mm]B_{2}[/mm] berechnen. Das habe ich getan und es ist
> [mm]f(1)=a_{0}+a_{1}, f(x)=a_{0}+a_{1}x, f(x^{2})=a_{0}+a_{1}x^{2}.[/mm]
>  
> Diese Bilder müssen nun durch die Basis [mm]B_{1}[/mm] dargestellt
> werden.
>  Es ist [mm]f(1)=(a_{0}+a_{1})*1+0*(1+x), f(x)=a_{0}*1+y*(1+x)[/mm]
> (das y krieg ich nicht raus).
>   Und [mm]f(x^{2})=a_{0}*1+y*(1+x).[/mm] Auch hier krieg ich
> irgendwie das y nicht raus.
>  Wie kann ich denn die y rauskriegen?


Es ist doch [mm]x^{2}=0*1+0*x+1*x^{2}, \ a_{0}=a_{1}=0, \ a_{2}=1[/mm]
und gemäß Abbildungsvorschrift wird das abgebildet auf ...

Demnach ist y= ... .


> Vielen Dank
>  lg


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
darstellende Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Do 17.02.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Sei f: [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}+x^{2} \mapsto a_{0}+a_{1}x (a_{i},x \in \IR)[/mm]
> von [mm]P_{2}[/mm] in [mm]P_{1}.[/mm]
>  
> a) Berechne die darstellende Matrix von f bezüglich der
> Basen [mm]B_{2}[/mm] und [mm]B_{1}[/mm] mit
>  
> [mm]B_{2}: \phi_{0}(x)=1, \phi_{1}(x)=x, \phi_{2}(x)=x^{2}[/mm] von
> [mm]P_{2}[/mm]
>  [mm]B_{1}: n_{0}(x)=1, n_{1}(x)=1+x[/mm] von [mm]P_{1}.[/mm]
>  
> b) Bestimme dim kern (f).
>  
> c) Zeige: f [mm]\in Hom(P_{2},P_{2});[/mm] bestimme das Spektrum von
> f und ggfl's die Eigenräume.
>  Hallo,
>  
> ich weiß wie man die Aufgabe löst,also die
> Vorgehensweise, aber irgendwie komme ich nicht mehr
> weiter.
>  
> a) Für die darstellende Matrix muss ich zunächst die
> Bilder von [mm]B_{2}[/mm] berechnen. Das habe ich getan und es ist
> [mm]f(1)=a_{0}+a_{1}, f(x)=a_{0}+a_{1}x, f(x^{2})=a_{0}+a_{1}x^{2}.[/mm]
>  
> Diese Bilder müssen nun durch die Basis [mm]B_{1}[/mm] dargestellt
> werden.
>  Es ist [mm]f(1)=(a_{0}+a_{1})*1+0*(1+x), f(x)=a_{0}*1+y*(1+x)[/mm]
> (das y krieg ich nicht raus).
>   Und [mm]f(x^{2})=a_{0}*1+y*(1+x).[/mm] Auch hier krieg ich
> irgendwie das y nicht raus.
>  Wie kann ich denn die y rauskriegen?

Dein Ansatz ist falsch; du kannst nicht voraussetzen, dass der Faktor vor [mm] $n_0(x)$ $a_0$ [/mm] ist. Also setze an:

[mm] f(x) = b_0 * 1 + b_1 * (1+x) \gdw b_0+b_1=a_0, \,\, b_1 =a_1 [/mm]

> zu b) Wenn ich die gesuchte Matrix M aus a) habe, kann ich
> die b) so lösen: Ich löse das Gleichungssystem Mx=0,
> indem ich die Matrix auf Stufenform bringe. dann lese ich
> den Rang ab und es ist n-r=dim kern(f), wobei x [mm]\in K^{n}.[/mm]
>  
> Ist es allgmein eigentlich egal, welche darstellende Matrix
> ich für eine Lineare Abbildung nehme, um den Rang,
> Dimension usw. abzulesen oder muss es die darstellende
> Matrix bzgl. der Standardbasis sein?

Rang, Dimension und Kern hängen nicht von der Darstellung oder der Basis ab.

Überlege dir: wie ändert sich die Gleichung $Mx=0$, wenn du einen Basiswechsel vornimmst?

> c) Das Spektrum könnte ich doch bestimmen,indem ich die
> Eigentwerte der in A ausgerechneten Matrix bestimme oder?

Ja.

> Und dann die jeweiligen Eigenräume berechnen. f ist genau
> dann ein Hom., wenn f von [mm]P_{2}[/mm] nach [mm]P_{2}[/mm] geht und linear
> ist. Also muss ich nur noch zeigen, dass f linear ist?

[mm] $P_1$ [/mm] ist ein Unterraum von [mm] $P_2$ [/mm] und f hat eine darstellende Matrix. Nichtlineare Abbildungen kannst du nicht als Matrix darstellen.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]