d ist keine rat. Zahl d \in Q < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahl d [mm] \in [/mm] Q gibt, welche die Gleichung [mm] d^{3}=5 [/mm] erfüllt. Es gilt: Q = [mm] \{ p/q | p,q \in \IZ, q \not= 0 \} [/mm] |
Hallo,
ich hab mich gestern einige Stunden mit Rechnungen beschäftigt, die ich in den vergangenen Wochen nicht verstanden habe. Insgesamt waren es 4, und eine davon möchte ich mal hier anbringen.
Ich hab folgendes mal versucht:
d=p/q, d [mm] \in [/mm] Q
[mm] d^{3}=5=p^{3}/q^{3}
[/mm]
[mm] p^{3}=5q^{3}
[/mm]
Ab hier komm ich gedanklich nicht mehr weiter. Ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll. Auf folgendes bin ich noch gekommen:
[mm] d^{3}=5=5q^{3} [/mm] / [mm] q^{3}
[/mm]
Ab hier ist Ende. Habe keine Ahnung, wie ich die Aufgabe fertig rechnen soll.
Freue mich auf Antworten, Tipps, etc.
Gruß, Hannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mo 09.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du bist fast Fertig.
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass [mm] \wurzel[3]{5}\not\in\IQ [/mm] .
Das funktioniert fast genauso,wie der Beweis [mm] \wurzel{2}\not\in\IQ.
[/mm]
Du hast ha vorausgesetzt, dass [mm] d=\bruch{p}{q} [/mm] mit [mm] p,q\in\IQ.
[/mm]
Also kannst du
p³=5q³
umformen zu
[mm] \wurzel[3]{p³}=\wurzel[3]{5}*\wurzel[3]{q³}
[/mm]
[mm] \gdw \underbrace{p}_{\in\IQ}=\wurzel[3]{5}*\underbrace{q}_{\in\IQ}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel[3]{5}=\bruch{p}{q}
[/mm]
Wenn du jetzt zeigst, dass [mm] \wurzel[3]{5}\not\in\IQ [/mm] hast du einen Widerspruch erzeugt.
Marius
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahl d Q gibt, welche die Gleichung erfüllt. Es gilt: [mm] \{p/q | p,q\in\IZ,q\not=0 \} [/mm] |
Aber wie kann ich dann [mm] \wurzel{2}\not\in\IQ? [/mm] Soll ich einzelne Proben mit Ziffern machen, oder gibt's da eine andere Methode? zB das Vereinfachen von [mm] \wurzel[3]{5}? [/mm] Ich kann doch das nicht mehr vereinfachen. Ich weiß nicht mehr weiter, wie ich das beweisen soll, ich hab heut wieder diese Aufgabe mit einem Freund versucht, auch er konnte mir nicht mehr weiter helfen. Bin anscheinend in Mathe noch zu unerfahren, um hier sofort einen Beweis zu sehen.
Meine Frage: Wer nimmt sich die Mühe auf sich, um mir das zu erklären?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, hannes
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Hi, Hannes,
> Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahl d Q gibt, welche
> die Gleichung erfüllt. Es gilt: [mm]\{p/q | p,q\in\IZ,q\not=0 \}[/mm]
>
> Aber wie kann ich dann [mm]\wurzel{2}\not\in\IQ?[/mm] Soll ich
> einzelne Proben mit Ziffern machen, oder gibt's da eine
> andere Methode? zB das Vereinfachen von [mm]\wurzel[3]{5}?[/mm]
Sind wir immer noch bei dereslben Aufgabe oder geht es jetzt um [mm] \wurzel{2}?
[/mm]
Ich vermute mal, Du willst immer noch zeigen, dass es keine rationale Zahl gibt, deren 3. Potenz = 5 ist.
Du hast ja ganz richtig begonnen für einen Widerspruchsbeweis, nämlich mit dem Ansatz: d = [mm] \bruch{p}{q}.
[/mm]
Aber das WICHTIGSTE hast Du VERGESSEN:
Dieser Bruch soll nämlich VOLLSTÄNDIG GEKÜRZT vorliegen, d.h. p und q dürfen KEINEN GEMEINSAMEN FAKTOR mehr enthalten!!! (***)
Deine Umformung hat dann ja ergeben:
[mm] p^{3} [/mm] = [mm] 5*q^{3}
[/mm]
oder wenn's Dir dadurch leichter fällt, den Rest zu verstehen:
p*p*p = 5*q*q*q
Da 5 ein Teiler der rechten Seite ist, muss diese Zahl auch ein Teiler der linken Seite sein.
Logisch, dass dann die 5 ein Teiler von p sein muss!
Aber dann teilt sogar 5*5*5 die linke Seite, da JEDES p den Teiler 5 enthält.
Demnach wird auch die rechte Seite durch 5*5*5 geteilt.
Somit aber muss die 5 AUCH Teiler von q sein!
Zusammenfassung: 5 ist Teiler von p UND auch von q.
Demnach haben p und q noch einen gemeinsamen Teiler, was ein Widerspruch zur Voraussetzung (***) ist.
Der Widerspruch zur Annahme ist gefunden!
Fertig!
mfG!
Zwerglein
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahl d Q gibt, welche die Gleichung erfüllt. Es gilt: Q = $ [mm] \{ p/q | p,q \in \IZ, q \not= 0 \} [/mm] $ |
Wenn ich das jetzt richtig verstanden haben, dann gilt für [mm] q^{3}=5: [/mm]
[mm] \bruch{p*p*p}{d*d*d}=q*q*q
[/mm]
Wobei die Zahl 5 in d*d*d nicht aufgespalten werden kann, da 5 nur durch sich selbst teilbar ist. Also 5*5*5 geht nicht. Wenn aber [mm] q^{2}=4, [/mm] dann
[mm] \bruch{p*p*}{d*d}=q*q [/mm] das ergibt -->
[mm] \bruch{p*p*}{2*2}=q*q [/mm] (denn 4 kann man in 2x2 aufteilen.
Hab ich das jetzt richtig verstanden?
Freue mich auf eine Antwort.
Grüße, hannes
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Hi, Braunstein,
> Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahl d Q gibt, welche
> die Gleichung erfüllt. Es gilt: Q = [mm]\{ p/q | p,q \in \IZ, q \not= 0 \}[/mm]
Welche "Gleichung" denn?!
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden haben, dann gilt für
> [mm]q^{3}=5:[/mm]
>
> [mm]\bruch{p*p*p}{d*d*d}=q*q*q[/mm]
>
> Wobei die Zahl 5 in d*d*d nicht aufgespalten werden kann,
> da 5 nur durch sich selbst teilbar ist. Also 5*5*5 geht
> nicht.
Ich bin ehrlich: Das versteh' ich nicht! Was meinst Du mit "5*5*5 geht nicht" ?
> Wenn aber [mm]q^{2}=4,[/mm] dann
Soll jetzt also d=2 sein? Und somit [mm] \bruch{p}{q} [/mm] = 2?
> [mm]\bruch{p*p*}{d*d}=q*q[/mm] das ergibt -->
>
> [mm]\bruch{p*p*}{2*2}=q*q[/mm] (denn 4 kann man in 2x2 aufteilen.
Die [mm] \red{WICHTIGSTE} [/mm] Voraussetzung für den Bruch [mm] \bruch{p}{q} [/mm] ist, dass er bereits VOLLSTÄNDIG GEKÜRZT sein muss!
D.h. wenn die rechte Seite ganzzahlig ist, muss es auch die linke Seite sein und somit muss p durch 2 teilbar sein!
Und nun denk' mal drüber nach, was dies für q bedeutet und was daraus für Deine Aufgabe folgt!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Braunstein |
Okay, ich hab in meiner Aufgabenstellung die Gleichung vergessen [mm] (d^{3}=5). [/mm] Ich glaube, ich habe nun "ungefähr" verstanden, wie's sein soll. Eine "bildliche" Erklärung würd mit - glaube ich - noch weiter helfen.
Aber herzlichen Dank erstmals.
Gruß, h.
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