cosh Umfangsberechnung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | selbsterstellte Aufgabe: Berechne die Strecke der Kettenlinie cosh von -5 bis 5
cosh = [mm] 1/2(e^x+e^-2)
[/mm]
sinh = [mm] 1/2(e^x-e^-x)
[/mm]
(cosh)'= sinh
(sinh)'= cosh
Strecke = [mm] \integral_{a}^{b}\wurzel{1+(f'(x))²} [/mm] |
Mein Ansatz:
[mm] \integral_{a}^{b}\wurzel{1+(1/2(e^x-e^-x))²}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}\wurzel{1+1/4(e^2x-2e^xe^-x+e^-2x)}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}\wurzel{1+1/4e^2x-1/2+1/4e^-2x}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}\wurzel{1/4e^2x+1/4e^-2x-1/2}
[/mm]
und da komme ich nicht weiter
Könnt ihr mir helfen, wie ich die Wurzel daraus ziehen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruß jean-jaque
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Fr 11.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> selbsterstellte Aufgabe: Berechne die Strecke der
> Kettenlinie cosh von -5 bis 5
> cosh = [mm]1/2(e^x+e^-2)[/mm]
> sinh = [mm]1/2(e^x-e^-x)[/mm]
> (cosh)'= sinh
> (sinh)'= cosh
> Strecke = [mm]\integral_{a}^{b}\wurzel{1+(f'(x))²}[/mm]
Richtig: Strecke = [mm]\integral_{a}^{b}\wurzel{1+(f'(x))^2}[/mm]
> Mein Ansatz:
> [mm]\integral_{a}^{b}\wurzel{1+(1/2(e^x-e^-x))²}[/mm]
> [mm]\integral_{a}^{b}\wurzel{1+1/4(e^2x-2e^xe^-x+e^-2x)}[/mm]
> [mm]\integral_{a}^{b}\wurzel{1+1/4e^2x-1/2+1/4e^-2x}[/mm]
> [mm]\integral_{a}^{b}\wurzel{1/4e^2x+1/4e^-2x-1/2}[/mm]
Falsch ! Richtig: [mm]\integral_{a}^{b}\wurzel{1/4e^{2x}+1/4e^{-2x}+1/2}[/mm]
> und da komme ich nicht weiter
>
> Könnt ihr mir helfen, wie ich die Wurzel daraus ziehen
> kann?
Man kanns auch umständlich machen !
[mm] $1+f'(x)^2 [/mm] = [mm] 1+sinh^2(x) [/mm] = [mm] cosh^2(x)$
[/mm]
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Gruß jean-jaque
>
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ok, das versteh ich, dass [mm] 1+sinh^2 [/mm] = [mm] cosh^2 [/mm] ergibt, aber kann ich wieder die wurzel nicht lösen
[mm] \wurzel{1/4e^{2x}+1/4e^{-2x}+1/2}
[/mm]
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Hallo jean-jaque und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> ok, das versteh ich, dass [mm]1+sinh^2[/mm] = [mm]cosh^2[/mm] ergibt, aber
> kann ich wieder die wurzel nicht lösen
> [mm]\wurzel{1/4e^{2x}+1/4e^{-2x}+1/2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Na, elementare Schulmathematik:
Klammere $\frac{1}{4}$ aus und erweitere mit $e^{2x}$
Also $...=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot{}\left(e^{2x}+e^{-2x}+2\right)}=\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{\frac{\blue{e^{2x}}\cdot{}\left(e^{2x}+e^{-2x}+2\right)}{\blue{e^{2x}}}$
$=\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{\frac{\left(e^{2x}+1\right)^2}{e^{2x}}$
Nun kannst du in Zähler und Nenner die Wurzeln ziehen und weiter vereinfachen, bis die Integration trivial wird ...
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Fr 11.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok, das versteh ich, dass [mm]1+sinh^2[/mm] = [mm]cosh^2[/mm] ergibt, aber
> kann ich wieder die wurzel nicht lösen
> [mm]\wurzel{1/4e^{2x}+1/4e^{-2x}+1/2}[/mm]
>
Sieh doch genau hin !
aus
$ [mm] 1+f'(x)^2 [/mm] = [mm] 1+sinh^2(x) [/mm] = [mm] cosh^2(x) [/mm] $
folgt
[mm] $\wurzel{1+f'(x)^2}= [/mm] cosh(x) $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Fr 11.12.2009 | | Autor: | jean-jaque |
Danke schachuzipus
DU hast mich herzlich ins Forum aufgenommen und es mir freundlich erklärt. Ich habs jetzt auch verstanden, dankeschön.
@FRED: Dir auch danke, aber ich fühlte mich ein wenig angegriffen
"man kann es auch kompliziert machen!"
"sieh doch genau hin!"
sind nicht unbedingt die besten Ausdrucksformen
Gruß Jean-Jaque
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