cos(x/2) beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass gilt:
[mm] sin(\bruch {x}{2})=\wurzel{\bruch {1-cosx}{2}}
[/mm]
und [mm] cos(\bruch{x}{2})=\wurzel{\bruch {1+cosx}{2}} [/mm] |
Wir haben definiert: [mm] cosx=\bruch {1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}) [/mm] und [mm] sinx=\bruch {1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}).
[/mm]
Damit habe ich das jetzt versucht zu beweisen, aber ich komme auf keinen grünen Zweig, da ich die Wurzel von der Summe im Zähler nicht wegbekomme. Hat jemand da nen Tip für mich?
|
|
| |
|
Hallo,
> Beweisen Sie, dass gilt:
>
> [mm]sin(\bruch {x}{2})=\wurzel{\bruch {1-cosx}{2}}[/mm]
> und
> [mm]cos(\bruch{x}{2})=\wurzel{\bruch {1+cosx}{2}}[/mm]
> Wir haben
> definiert: [mm]cosx=\bruch {1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})[/mm] und
> [mm]sinx=\bruch {1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}).[/mm]
>
> Damit habe ich das jetzt versucht zu beweisen, aber ich
> komme auf keinen grünen Zweig, da ich die Wurzel von der
> Summe im Zähler nicht wegbekomme. Hat jemand da nen Tip
> für mich?
Ich habe mir mal für die Cosinusgleichung das Quadrat der zu zeigenden Beh. angesehen.
Das geht rucki zucki.
[mm] $\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\left[\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{i\frac{x}{2}}+e^{-i\frac{x}{2}}\right)\right]^2=\frac{1}{4}\cdot{}\left(e^{ix}+2+e^{-ix}\right)$
[/mm]
Gleiches ergibt sich für das Quadrat von [mm] $\sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}}$
[/mm]
Allerdings ist das Quadrieren ja keine Äquivalenzumformung, und mir fehlt eine Rechtfertigung dafür ...
Aber vllt. kannst du's in der Richtung mal probieren ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 24.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo congo.hoango!
Diese o.g. Gleichheiten können doch nur für bestimmte $x_$ gelten, da ansonsten in diese Formeln vor die Wurzeln jeweils ein [mm] $\pm$ [/mm] gehört.
Damit sollte schachuzipus' Antwort ausreichend sein.
Alternativ kannst Du auch die Additionstheoreme für die Doppelwinkel verwenden.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
