cos /sin von komplexer zahl? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Ronin |
Hi
ich komm net weiter die aufgabe lautet
Entscheiden sie ob folgende aussagen war oder falsch sind
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] C ( |cos(z) | [mm] \le [/mm] 1 [mm] \vee [/mm] |sin(z) | [mm] \le [/mm] 1 )
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] C ( [mm] cos^2(z) [/mm] + [mm] sin^2(z) [/mm] = 1 )
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] C ( [mm] cosh^2(z) [/mm] + [mm] sinh^2(z) [/mm] = 1 )
C sollen die komlexen Zahlen sein
Ich hab nur leider keinen Plan wie denn nu der sin/cos von ner Komplexen Zahl ausschaut.
kann mir einer sagen wie das aussieht
ansonsten muesste ich die meisten regel usw von den komplexen zahlen kennen
Danke
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Hallo Ronin,
> Hi
> ich komm net weiter die aufgabe lautet
> Entscheiden sie ob folgende aussagen war oder falsch sind
>
> [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] C ( |cos(z) | [mm]\le[/mm] 1 [mm]\vee[/mm] |sin(z) | [mm]\le[/mm] 1 )
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> [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] C ( [mm]cos^2(z)[/mm] + [mm]sin^2(z)[/mm] = 1 )
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> [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] C ( [mm]cosh^2(z)[/mm] + [mm]sinh^2(z)[/mm] = 1 )
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> C sollen die komlexen Zahlen sein
>
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> Ich hab nur leider keinen Plan wie denn nu der sin/cos von
> ner Komplexen Zahl ausschaut.
>
> kann mir einer sagen wie das aussieht
Es gilt:
[mm]\cos\;ix\;=\;\cosh\;x[/mm]
[mm]\sin\;ix\;=\;i\;\sinh\;x[/mm]
,wobei [mm]x\;\in\;\IR[/mm]
Dies läßt sich z.B. über die entsprechenden Potenzeihen nachweisen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Ronin |
hmmm Naja deine Antwort hat mir net wirklich weiter geholfen aber ich weiss inzwischen wie der sin (z) bzw cos (z) aussieht
habe die aufgabenteile b und c gelöst aber bei a komme ich nicht weiter
da war gefragt ob die aussage
[mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] [mm] \IC [/mm] ( |cos(z) | [mm]\le[/mm] 1 [mm]\vee[/mm] |sin(z) | [mm]\le[/mm] 1 )
war sei
[mm] \IC [/mm] sollen die komlexen Zahlen sein
Ich weiss wie der sin z cos z ausschaut und dass
|e^(i* [mm] \beta) [/mm] |= [mm] \wurzel{cos^2(\beta)+sin^2(\beta)}
[/mm]
aber wie ´schreibt man den Betrag von cos z um ?????
also |r*e^(i* [mm] \beta) [/mm] |=???????
und dann auch noch |r*(e^(i* [mm] \beta)+e^{-i* \beta}) [/mm] |=
hat einer ne Idee???
Danke
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Nimm doch die letzten Formeln von MathePower und setze z.B. [mm]x=1[/mm]. Dann ist doch bereits alles erledigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Ronin |
Sorry aber ich scheine echt aufm schlauch zu stehn
was genau bringts mir denn für die aufgabe wenn ich weiss dass
cos (ix)= cosh x
sin (ix)= i sinh x
für x =1
cos i= cosh 1
sin i= i sinh 1
das ist doch garnirgends verlangt....
der cos (ix) ist doch nicht dasselbe wie ein beliebiger cos(z) oder nicht???
ausserdem was ist mit dem Betrag ist der nun als ganz normaler betragt zu verstehen also (er macht aus | -x |--> x oder ist er wie bei den komplexen zahlen sonst die länge des pfeils.
Danke
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Dann berechne doch [mm]\left| \sin{\operatorname{i}} \right|[/mm] und [mm]\left| \cos{\operatorname{i}} \right|[/mm] und vergleiche mit der behaupteten Beziehung. Aussagen können ja auch falsch sein. (Vielleicht liegt das Problem auch darin, daß du die Bedeutung von [mm]\vee[/mm] nicht richtig erfaßt hast.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Ronin |
Also nochmal die Aufgabe
oder wie ich sie interpretiere
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] |cos (z) | [mm] \le [/mm] 1
oder( [mm] \vee):
[/mm]
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] |sin (z) | [mm] \le [/mm] 1
also wenn eine der beiden aussagen für alle z stimmt ist die ges aussage richtig
oder hab das schon falsch verstanden
als nächstes WIE IST DENN NU der |sin (z) | zu berechnen??? das ist mein hauptproblem ich weiss dass sin(z) = [mm] 1\2i [/mm] (e^iz + e^-iz) aber der Betrag ist der nun im allg sinn zu verstehen (also macht aus negativen werten pos) oder im geometrischen sinn (also |z|= [mm] \wurzel{x^2+y^2}?
[/mm]
ich mein bei b und c ging das mit einsetzen der allg def und dann kam 1=1 raus also hats gestimmt...
und nochmal der cos (ix) ist doch nicht dasselbe wie für ein beliebiger cos(z) oder?
und über haupt blick ich auch nicht was der sinh/cosh im a teil zu tun hat???
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Deine Sinus-Definition stimmt ja nicht ganz. Richtig ist Folgendes:
[mm]\sin{z} = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} - \operatorname{e}^{- \operatorname{i}z} \right)[/mm]
Und speziell für [mm]z = \operatorname{i}[/mm] folgt:
[mm]\sin{ \, \operatorname{i}} = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \operatorname{e}^{-1} - \operatorname{e}^1 \right) = \operatorname{i} \cdot \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^1 - \operatorname{e}^{-1} \right) = \operatorname{i} \cdot \sinh{1} \approx 1{,}18 \operatorname{i}[/mm]
Und damit ist [mm]\left| \sin{\, \operatorname{i}} \right| \approx 1,18[/mm].
Und [mm]\cos{\, \operatorname{i}}[/mm] solltest du jetzt selbst hinbekommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Ronin |
mir ists langsam echt peinlich aber ich hab noch eine frage
warum habe ich es allgemein gezeigt wenn ich für z = i setze
eine komplexe zahl ist doch im allg x+i*y
danke
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Ich dachte, meine Andeutungen genügen. Aber dann spreche ich es jetzt einmal aus: die Aussage ist FALSCH. Und um eine All-Aussage zu Fall zu bringen, genügt ein Gegenbeispiel. Und das ist eben [mm]z = \operatorname{i}[/mm] (und viele, viele andere tun es auch noch). Um nun aber eine Oder-Aussage zu widerlegen, muß man ihre beiden Teile als falsch nachweisen. Aber genau das ist der Fall. Sowohl der Sinus als auch der Cosinus haben bei [mm]\operatorname{i}[/mm] einen Wert von einem Betrag größer 1.
Und hiermit beende ich von mir aus die Diskussion.
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