chinesischer Restsatz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:07 Sa 14.05.2011 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Sei R = [mm] \IZ [/mm] und [mm] I_{1} [/mm] = [mm] 2\IZ, I_{2} =3\IZ, I_{3} [/mm] = [mm] 5\IZ \subseteq [/mm] Ideale in [mm] \IZ. [/mm] Dann sind [mm] I_{i} [/mm] komaximal ( laut einer anderen Aufgabe)
a) Berechnen Sie die Elemente [mm] d_{i,j} [/mm] und [mm] e_{i} [/mm] nach dem Beweis des chinesischen Restsatzes
b) Berechnen Sie zwei verschiedene Urbilder von [mm] (3+2\IZ, 2+3\IZ, 1+5\IZ) [/mm] unter der Abbildung [mm] \delta [/mm] des Beweises
c) Geben Sie ferner die Mange aller Urbilder eines beliebigen Elements [mm] (a+2\IU, b+3\IZ, c+\5IZ) [/mm] unter [mm] \delta [/mm] an |
Ehrlich gesagt weiß ich weder was mit den Elementen [mm] d_{i,j} [/mm] gemeint ist noch wie man dies mit dem chinesischen Restsatz berechnen kann, wenn mir da jemand vielleicht eine Tipp oder Ansatz geben könnte?
Und wie man die Urbilder bestimmt weiß ich leider auch nicht, dass hatten wir noch gar nicht in der Vorlesung..
Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte,
Danke im voraus
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> Sei R = [mm]\IZ[/mm] und [mm]I_{1}[/mm] = [mm]2\IZ, I_{2} =3\IZ, I_{3}[/mm] = [mm]5\IZ \subseteq[/mm]
> Ideale in [mm]\IZ.[/mm] Dann sind [mm]I_{i}[/mm] komaximal ( laut einer
> anderen Aufgabe)
>
> a) Berechnen Sie die Elemente [mm]d_{i,j}[/mm] und [mm]e_{i}[/mm] nach dem
> Beweis des chinesischen Restsatzes
>
> b) Berechnen Sie zwei verschiedene Urbilder von [mm](3+2\IZ, 2+3\IZ, 1+5\IZ)[/mm]
> unter der Abbildung [mm]\delta[/mm] des Beweises
>
> c) Geben Sie ferner die Mange aller Urbilder eines
> beliebigen Elements [mm](a+2\IU, b+3\IZ, c+\5IZ)[/mm] unter [mm]\delta[/mm]
> an
> Ehrlich gesagt weiß ich weder was mit den Elementen
> [mm]d_{i,j}[/mm] gemeint ist
Hallo,
die Aufgabe klingt doch sehr danach, als würde sie sich auf einen Beweis des chinesischen Restsatzes, welcher in der Vorlesung vorgestellt wurde oder sich in der von Euch verwendeten Literatur findet, bezieht.
Vielleicht solltest Du uns diesen mal vorstellen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Torste |
Es handelt sich dabei um dieses Skript S.57/58:
www.math.tu-berlin.de/~hess/algebra2-ws2007/algebra.pdf
Die c.) insbesondere würde mich auch mal interessieren!
Man bräuchte dann ja um x zu bestimmen
[mm] X=a*e_1+b*e_2+c*e_3
[/mm]
aber welche e`s würde man da wählen? Denn es gibt ja mehrere, oder!?
Wären alle korrekt?
Torste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 So 15.05.2011 | | Autor: | julmarie |
ja genau unter dem Link :
www.math.tu-berlin.de/~hess/algebra2-ws2007/algebra.pdf
S. 57,58 findet man den chinesischen Restsatz und ehrlich gesagt, verstehe ich reichlich wenig davon, deswegen wäre es toll wenn mir jemand hilft die Aufgaben zu lösen...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 So 15.05.2011 | | Autor: | julmarie |
ich habe mir jetzt folgendes überlegt:
für a) muss ich brechnen:
[mm] d_{1,2} [/mm] + [mm] d_{2,1}= [/mm] 1
4 -3= 1
[mm] d_{1,3} [/mm] + [mm] d_{3,1}= [/mm] 1
6-5=1
[mm] d_{2,3} [/mm] + [mm] d_{3,2}= [/mm] 1
6-5=1
fehlen da noch welche?
jetzt weiß ich baer noch nicht so recht, wie ich b) machen muss, also zwei verschiedene Urbilder berechnen soll,
hat jemand eine Idee?
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Hallo,
gerade wollte ich Dich auffordern, doch mal erste Anfänge hinzuschreiben, da sehe ich
> ich habe mir jetzt folgendes überlegt:
Du bist schon munter dabei. Super.
>
> für a) muss ich brechnen:
Wir haben die Ideale $ [mm] I_{1} [/mm] $ = $ [mm] 2\IZ, I_{2} =3\IZ, I_{3} [/mm] $ = $ [mm] 5\IZ [/mm] $, und wir wissen bereits, daß sie komaximal sind.
Dh. wir können jedes Element aus [mm] \IZ [/mm] schreiben als Summe von zwei Elementen, von denen das eine dem einen Ideal entstammt und das andere dem anderen.
Weil das so ist, können wir auch die 1 entsprechend schreiben.
> [mm]d_{1,2}[/mm] + [mm]d_{2,1}=[/mm] 1
> 4 -3= 1
>
> [mm]d_{1,3}[/mm] + [mm]d_{3,1}=[/mm] 1
> 6-5=1
> [mm]d_{2,3}[/mm] + [mm]d_{3,2}=[/mm] 1
> 6-5=1
>
> fehlen da noch welche?
Nein.
(Sie snd übrigens nicht eindeutig.
Man hätte auch nehmen können [mm] d_{1,2}=-8, d_{2,1}=9.)
[/mm]
Nun sollst Du ja noch die [mm] e_i [/mm] berechnen.
Hast Du das gemacht?
Stimmt es, was im Beweis über die [mm] e_i [/mm] geschrieben steht?
> jetzt weiß ich baer noch nicht so recht, wie ich b) machen
> muss, also zwei verschiedene Urbilder berechnen soll,
> hat jemand eine Idee?
Erstmal sollten wir die Abbildung anschauen.
Es ist wohl die Abbildung [mm] \phi [/mm] gemeint und nicht [mm] \delta.
[/mm]
Von wo nach wo bildet - übertragen auf Deine Aufgabe - die Abbildung [mm] \phi [/mm] des Beweises ab, und wie ist die Zuordnungsvorschrift?
Erst, wenn wir das wissen, haben wir eine Chance, sinnvoll über Urbilder nachzudenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 15.05.2011 | | Autor: | julmarie |
Danke erstmal:)
also für die e´s habe ich jetzt gerade folgendes gerechnet:
e1 =3*5=15
e2=4*5=20
e3=6*6=36
ist das so vollständig?
Und zu b) ja du hast recht, es ist die Abbildung [mm] \phi [/mm] gemeint, da hatte ich mich wohl verschrieben. Aber leider werde ich aus dem Skript nicht ganz schlau, wenn ich jetzt ein urbild berechnen möchte, mache ich dass dann so:
x= 3*15+2*20+1*36 =121 ?
und wenn ja, wie dinde ich das zweite Urbild? denn es müssen ja 2 verschiedene sein..
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> Danke erstmal:)
>
> also für die e´s habe ich jetzt gerade folgendes
> gerechnet:
>
> e1 =3*5=15
> e2=4*5=20
> e3=6*6=36
>
> ist das so vollständig?
Hallo,
vollständig ist es, aber nicht ganz richtig.
Du hast die Vorzeichen der [mm] d_i_j [/mm] mißachtet.
Wie zuvor von mir geraten, solltest Du mal prüfen, ob die im Beweis angegebenen Eigenschaften der [mm] e_i [/mm] (welche sind das?) wirklich stimmen.
>
> Und zu b) ja du hast recht, es ist die Abbildung [mm]\phi[/mm]
> gemeint, da hatte ich mich wohl verschrieben. Aber leider
> werde ich aus dem Skript nicht ganz schlau, wenn ich jetzt
> ein urbild
Schreib doch erstmal auf, von wo nach wo [mm] \phi [/mm] abbildet und wie dies geschieht:
[mm] \phi:\IZ\to 2\IZ\times 3\IZ\times5\IZ [/mm] mit
[mm] \phi(x)=(x+2\IZ, x+3\IZ, x+5\IZ).
[/mm]
> berechnen möchte, mache ich dass dann so:
>
> x= 3*15+2*20+1*36 =121 ?
Im Prinzip ja, aber mit den richtigen Zahlen.
Du kannst dann selbst prüfen, ob Du eine richtige Lösung gefunden hast:
[mm] \phi(x)=(x+2\IZ, x+3\IZ, x+5\IZ).
[/mm]
Du mußt nun klären, ob das (mit Deinem errechneten x) dasselbe ist wie $ [mm] (3+2\IZ, 2+3\IZ, 1+5\IZ) [/mm] $.
> und wenn ja, wie dinde ich das zweite Urbild?
Ein in meiner vorhergehenden Antwort gegebener Hinweis sollte Dich auf die richtige Spur bringen.
Gruß v. Angela
> denn es
> müssen ja 2 verschiedene sein..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 15.05.2011 | | Autor: | Torste |
Hallo!
Ich hatte die Frage ja schonmal gestellt - da ihr jetzt aber ja so gut wie so weit seit, wollte ich sie an dieser Stelle nun nochmal stellen!
Also wenn Julmarie nun die VZ geändert hätte, müsste doch die Menge für die Urbilder des bel. Elementes (a+2IZ, b+3IZ, c+5IZ) von folgender Form sein, oder!?
[mm] \{x | x=a*15-20*b+36c\}
[/mm]
Oder eben mit anderen [mm] e_i [/mm] s für entsprechend angepasste [mm] d_i,j [/mm] s was Angela ja auch schonmal angedeutet hatte, wie das zu Stande kommt!
Kann man das so machen oder gibt es da etwas was ich nicht bedacht habe!?
Gruß
Torste
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> Hallo!
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> Ich hatte die Frage ja schonmal gestellt - da ihr jetzt
> aber ja so gut wie so weit seit, wollte ich sie an dieser
> Stelle nun nochmal stellen!
>
> Also wenn Julmarie nun die VZ geändert hätte, müsste
> doch die Menge für die Urbilder des bel. Elementes (a+2IZ,
> b+3IZ, c+5IZ) von folgender Form sein, oder!?
>
> [mm]\{x | x=a*15-20*b+36c\}[/mm]
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, was Du mit dieser Menge ausdrücken möchtest.
Richtig ist: es ist die eine Zahl x=15a-20b+36c ein Urbild von (a+2IZ,b+3IZ, c+5IZ)
> Oder eben mit anderen [mm]e_i[/mm] s für entsprechend angepasste
> [mm]d_i,j[/mm] s was Angela ja auch schonmal angedeutet hatte, wie
> das zu Stande kommt!
Ja genau, so bekommt man andere Urbilder.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 15.05.2011 | | Autor: | Torste |
Naja...es ist ja nach der Menge aller Urbilder eines beliebigen Elementes (a+2IZ,
> b+3IZ, c+5IZ) gefragt!
Und dann habe ich mir halt gedacht, dass man die Urbilder, die ja dieses ganzen Zahlen von der angegeben Form sind - einfach in eine Menge schreibt, also hat man dann die Menge der Urbilder!?
Was ist denn daran falsch?
Muss ich jetzt etwa auch allg. Formen für meine e`s finden um nicht nur das eine Urbild zu haben?
Wenn, wie würde ich dann vorgehen, weil es ja unendlich viele solcher e`s gibt!?
Vielen Dank für die Unterstützung!
Torste
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Hallo,
> Naja...es ist ja nach der Menge aller Urbilder eines
> beliebigen
aber festen
> Elementes (a+2IZ, b+3IZ, c+5IZ) gefragt!
Von wem?
In der Aufgabe ist lediglich die Angabe zweier Urbilder gefordert.
Und ein Urbild dieses obigen einen festen Elements ist x=15a-20b+36c.
Die 15,-20 und 36 kommen von den [mm] d_i_j.
[/mm]
>
> Und dann habe ich mir halt gedacht, dass man die Urbilder,
> die ja dieses ganzen Zahlen von der angegeben Form sind -
> einfach in eine Menge schreibt, also hat man dann die Menge
> der Urbilder!?
Du suchst doch [mm] \phi^{-1}(\{(a+2IZ, b+3IZ, c+5IZ)\}).
[/mm]
Diese menge enthält das Element x von oben, aber sie enthält auch noch andere Elemente der Gestalt a*r+b*s+c*t, wobei man die passenden r,s,t aus den möglichen anderen [mm] d_i_j [/mm] berechnet.
>
> Was ist denn daran falsch?
>
> Muss ich jetzt etwa auch allg. Formen für meine e's finden
> um nicht nur das eine Urbild zu haben?
Wenn Du die komplette Urbildmenge haben willst, dann mußt Du das tun.
Aber die Aufgabe verlangt es nicht.
Die will bloß zwei Urbilder.
> Wenn, wie würde ich dann vorgehen, weil es ja unendlich
> viele solcher e's gibt!?
Hmm. Weiß ich auch gerade nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 So 15.05.2011 | | Autor: | Torste |
Dann verstehe ich die Aufgabe glaube ich noch nicht so ganz!?
Es geht ja um die c.) und die lautet:
c) Geben Sie ferner die Menge aller Urbilder eines beliebigen Elements (a+2IZ, b+3IZ, c+5IZ) unter [mm] \phi [/mm] an.
Und du meinst jetzt, dass ich diese Menge schon mit dem einen Element angeben kann? Das finde ich noch etwas komisch! Für welchen Fall wäre es denn dann gefordert, so wie du es ja auch beschrieben hast, dann alle di,j zu bestimmen und darüber dann zu einer (noch) allgemeinereren Form zu kommen!?
Grüße
Torste
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> Dann verstehe ich die Aufgabe glaube ich noch nicht so
> ganz!?
>
> Es geht ja um die c.) und die lautet:
> c) Geben Sie ferner die Menge aller Urbilder eines
> beliebigen Elements (a+2IZ, b+3IZ, c+5IZ) unter [mm]\phi[/mm] an.
Oh! Peinlich!
Soweit hatte ich gar nicht gelesen, bzw. ich hatte es wohl völlig verdrängt.
Ich hatte es mir nur bis b) gemerkt.
> Und du meinst jetzt, dass ich diese Menge schon mit dem
> einen Element angeben kann?
Nein!
> Das finde ich noch etwas
> komisch!
>
Wäre es wirklich.
> Für welchen Fall wäre es denn dann gefordert, so
> wie du es ja auch beschrieben hast, dann alle di,j zu
> bestimmen und darüber dann zu einer (noch) allgemeinereren
> Form zu kommen!?
Genau für die Dir vorliegende Aufgabe c).
Darüber, wie es geht, müßte ich nachdenken, aber nicht jetzt.
Vielleicht weiß es jemand schneller.
Gruß v. Angela
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> Es geht ja um die c.) und die lautet:
> c) Geben Sie ferner die Menge aller Urbilder eines
> beliebigen Elements (a+2IZ, b+3IZ, c+5IZ) unter [mm]\phi[/mm] an.
Hallo,
wir hatten ja zuvor gefunden, daß für x=15a-20b+36c gilt:
[mm] \phi(x)=(a+2IZ, [/mm] b+3IZ, c+5IZ) .
Ich hab' nun mal unabhängig von dem Dir vorliegenden Beweis latent bei mir vorhandene Kenntnisse aktiviert:
es gilt
[mm] \phi^{-1}(\{(a+2IZ, b+3IZ, c+5IZ)\})=\{z\in \IZ| z\equiv 15a-20b+36c\quad mod(2*3*5)\}.
[/mm]
(Du könntest das mal zum Spaß für $ [mm] (3+2\IZ, 2+3\IZ, 1+5\IZ) [/mm] $ testen.)
Es wäre nun ganz gut, wenn man herausfinden würde, an welcher Stelle man das dem Dir vorliegenden Satz entnehmen kann.
Darüber müßtest Du nochmal genauer - halt!
Da steht [mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] \bigcap_{i=1}^n I_i.
[/mm]
Für unseren Fall also [mm] ker(\phi)=2\IZ\cap 3\IZ \cap 5\IZ=30\IZ.
[/mm]
Damit wissen wir schonmal, daß [mm] \phi(x+30k)=\phi(x) [/mm] gilt.
Also wissen wir schonmal, daß alle [mm] z\in \IZ [/mm] mit [mm] z\equiv [/mm] x mod 30 Urbilder von (a+2IZ, b+3IZ, c+5IZ) sind.
Überlegen müßtest Du nun noch, weshalb keine Zahl, die nicht von dieser Machart ist,
ein Urbild von (a+2IZ, b+3IZ, c+5IZ) ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Torste |
Ja das macht in der Tat mehr Sinn, als das was ich dann abgegeben hatte!
Danke auf jeden fall!
Torste
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Mo 16.05.2011 | | Autor: | julmarie |
also ich hoffe ich habe die Vorzeichen jetzt richtig geändert:
[mm] e_{1} [/mm] = 3*5=15
[mm] e_{2} [/mm] = 4*-5=-20
[mm] e_{3}= [/mm] 6*6 =36
stimmt das jetzt so?
und wäre ein weiteres Urbild das hier:
x= 45a - 20b +36c ?
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>
> also ich hoffe ich habe die Vorzeichen jetzt richtig
> geändert:
>
> [mm]e_{1}[/mm] = 3*5=15
> [mm]e_{2}[/mm] = 4*-5=-20
> [mm]e_{3}=[/mm] 6*6 =36
>
> stimmt das jetzt so?
Hallo,
ja.
>
> und wäre ein weiteres Urbild das hier:
> x= 45a - 20b +36c ?
Wovon suchst Du jetzt ein Urbild? Das ist mir gerade nicht klar.
Von [mm] (3+2\IZ, 2+3\IZ, 1+5\IZ)?
[/mm]
Ob es ein Urbild ist, kannst Du ja selbst prüfen, indem Du guckst, ob bei [mm] \phi(45a [/mm] - 20b +36c) das herauskommt, was Du Dir gewünscht hast.
Gruß v. Angela
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