chinesischer Restsatz < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 So 13.09.2015 | | Autor: | Stef99 |
Hallo,
mir steht die mündliche Prüfung im Bereich der linearen Algebra unmittelbar bevor. Leider habe ich keinen blassen Schimmer, was mich erwartet. Unter anderem habe ich mir deshalb zumindest vorgenommen, die "wichtigen" Sätze, also die, die mit einem Namen versehen sind, zu beherrschen.
Momentan hänge ich beim chinesischen Restsatz fest. Dieser ist in meinem Skript wie folgt definiert:
Sei R Hauptidealring, a [mm] \in [/mm] R\ {0} und [mm] a=ep_{1}^{n_{1}}...p_{r}^{n_{r}} [/mm] eine Primfaktorzerlegung (e [mm] \in [/mm] R*, die [mm] p_{i} [/mm] paarweise nicht-assoziierte Primelemente). Seien [mm] \pi_{i}: [/mm] R [mm] \to [/mm] R/ [mm] (p_{i}^{n_{i}}) [/mm] die kanonischen Epimorphismen, dann ist der Rinhomomorphismus [mm] R/(p_{1}^{n_{1}})x...x(p_{r}^{n_{r}}), [/mm] x [mm] \mapsto (\pi_{1}(x),..., \pi_{r}(x)) [/mm] surjektiv mit [mm] Ker(\phi)=(a), [/mm] induziert also einen Isomorphismus R/(a) [mm] \to R/(p_{1}^{n_{1}})x...xR [/mm] / [mm] (p_{r}^{n_{r}}) [/mm] (dabei hat letzterer Ring komponentenweise Addition und Multiplikation).
Das Prinzip des chinesischen Restsatzes habe ich mittlerweile dank eines Videos, das ich bei Youtube gefunden habe, verstanden. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das anhand dieses Satzes erklären soll. Es wäre super, wenn mir jemand den Satz ein wenig verständlicher erklären könnte! Zum Beispiel ist mir schon direkt am Anfang nicht klar, wieso das e steht, bei a=... .
Außerdem frage ich mich, ob es sich hierbei R/ [mm] (p_{1}^{n_{1}})x...xR [/mm] / [mm] (p_{r}^{n_{r}}) [/mm] jeweils um Brüche handelt? usw.
Vielen Dank im voraus! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 So 13.09.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
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> mir steht die mündliche Prüfung im Bereich der linearen
> Algebra unmittelbar bevor. Leider habe ich keinen blassen
> Schimmer, was mich erwartet. Unter anderem habe ich mir
> deshalb zumindest vorgenommen, die "wichtigen" Sätze, also
> die, die mit einem Namen versehen sind, zu beherrschen.
Das ist gut: Du solltest diese Satze auswendig koennen und auch ihre Beweise.
> Momentan hänge ich beim chinesischen Restsatz fest.
> Dieser ist in meinem Skript wie folgt definiert:
>
> Sei R Hauptidealring, a [mm]\in[/mm] R\ {0} und
> [mm]a=ep_{1}^{n_{1}}...p_{r}^{n_{r}}[/mm] eine Primfaktorzerlegung
> (e [mm]\in[/mm] R*, die [mm]p_{i}[/mm] paarweise nicht-assoziierte
> Primelemente). Seien [mm]\pi_{i}:[/mm] R [mm]\to[/mm] R/ [mm](p_{i}^{n_{i}})[/mm] die
> kanonischen Epimorphismen, dann ist der Rinhomomorphismus
> [mm]R/(p_{1}^{n_{1}})x...x(p_{r}^{n_{r}}),[/mm] x [mm]\mapsto (\pi_{1}(x),..., \pi_{r}(x))[/mm]
> surjektiv mit [mm]Ker(\phi)=(a),[/mm] induziert also einen
> Isomorphismus R/(a) [mm]\to R/(p_{1}^{n_{1}})x...xR[/mm] /
> [mm](p_{r}^{n_{r}})[/mm] (dabei hat letzterer Ring komponentenweise
> Addition und Multiplikation).
>
> Das Prinzip des chinesischen Restsatzes habe ich
> mittlerweile dank eines Videos, das ich bei Youtube
> gefunden habe, verstanden. Allerdings weiß ich nicht, wie
> ich das anhand dieses Satzes erklären soll. Es wäre
> super, wenn mir jemand den Satz ein wenig verständlicher
> erklären könnte! Zum Beispiel ist mir schon direkt am
> Anfang nicht klar, wieso das e steht, bei a=... .
Ich bin mir nicht sicher, wonach Du mit "wieso das e steht" fragst. Ich kann Dir aber sagen, dass $e$ eine Einheit des Ringes ist. Man kann zum Beispiel in [mm] $\IZ$ [/mm] die Zahl $6$ auf mehrere Arten in Primfaktoren zerlegen: [mm] $6=2\cdot [/mm] 3= [mm] (-1)\cdot 2\cdot [/mm] (-3)$. Im ersten Fall ist $e=1$ und im zweiten $=-1$.
> Außerdem frage ich mich, ob es sich hierbei R/
> [mm](p_{1}^{n_{1}})x...xR[/mm] / [mm](p_{r}^{n_{r}})[/mm] jeweils um Brüche
> handelt? usw.
Diese Frage zeigt, dass Du noch einiges nachzuarbeiten hast: aber es ist ja noch nicht zu spaet! Ist allgemein $R$ ein kommutativer Ring und [mm] $a\in [/mm] R$, so bezeichnet $(a)$ das von erzeugte Ideal (man schreibt dafuer z.B. auch $Ra$). $R/(a)$ ist dann der Faktorring von $R$ nach dem Ideal $(a)$. Seine Elemente sind die Restklassen $x+(a)$, [mm] $x\in [/mm] R$.
Wenn Du grosses Glueck hast, wird in Deiner Pruefung das Thema Faktorstrukturen nicht beruehrt, Du wirst damit aber immer wieder in der Mathematik konfrontiert werden. Du kannst Dir enorme Schwierigkeiten ersparen, wenn Du Dich damit gruendlich vertraut machst.
Das Video zum Restsatz mag ja gut sein, aber es scheint wirklich kein Lehrbuch zu ersetzen, in dem Du Informationen nicht nur haeppchenweise, sondern umfassend erhaelst.
>
> Es wäre
> super, wenn mir jemand den Satz ein wenig verständlicher
> erklären könnte!
Man koennte es vielleicht so beschreiben: In Hauptidealringen lassen sich nicht nur die Elemente als ein Produkt in Standardform schreiben, die schoene Eigenschaften hat - Eindeutigkeit, Primelemente haben gute Eigenschaften etc., sondern auch seine Faktorringe besitzen eine aehnlich Darstellung als direktes Produkt. Die Komponenten [mm] $R/(p_{i}^{n_{i}})$ [/mm] sind zwar i.a. nicht prim, haben aber trotzdem einfachere Struktur als $R/(a)$ fuer beliebiges $a$.
Es gelingt also alle Faktorringe als direktes Produkt ganz spezieller Faktorringe darzustellen. Das schafft Uebersicht und Ordnung.
Je nach Anwendung koennte man den Restsatz vielleicht auch anders erlaeutern.
> Vielen Dank im voraus! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 13.09.2015 | | Autor: | Stef99 |
Blöde Frage, aber du schreibst auswendig können... Impliziert das, dass ich die Sätze auch verstanden haben muss? Stumpfes Auswendiglernen bringt mich vermutlich nicht weiter, oder?
Okay, was das e ist, weiß ich jetzt. Kann dieses e immer nur 1 oder -1 sein? Einheit ist in meinem Skript wie folgt definiert: Ein Element x [mm] \in [/mm] R heißt Einheit, falls ein x' [mm] \in [/mm] R existiert mit xx'=x'x=1. Demnach muss es nicht zwingend 1 oder -1 sein? Warum ist e [mm] \in [/mm] R*, also im Dualraum?
Der Rest ist mir glaube ich soweit erstmal klar. Allerdings hänge ich zudem beim Beweis. Dieser sieht in meinem Skript wie folgt aus:
[mm] \phi [/mm] ist surjektiv: Sei j [mm] \in [/mm] {1,...,r}. Die Elemente [mm] p_{i}^{n_{i}}, \produkt_{i \not= j}^{} p_{i}^{n_{i}} \in [/mm] R sind Teilerfremd, also gibt es Elemente [mm] e_{j} \in (\produkt_{i \not= j}^{} p_{i}^{n_{i}} [/mm] ) und [mm] d_{j} \in (\produkt_{i \not= j}^{} p_{i}^{n_{i}}) [/mm] mit [mm] e_{j} [/mm] + [mm] d_{j} [/mm] = 1. Es gilt dann [mm] \pi_{i}(e_{j}) [/mm] = 0 für i [mm] \not= [/mm] j und [mm] \pi_{j}(e_{j}) [/mm] = [mm] \pi_{j}(e_{j})+0 [/mm] = [mm] \pi_{j}(e_{j})+\pi_{j}(d_{j}) [/mm] = [mm] \pi_{j}(e_{j}+d_{j}) [/mm] = [mm] \pi_{j}(1) [/mm] = 1. Sei [mm] \overline{a} [/mm] = [mm] (\overline{a_{l}})_{i=1}^{r} \in [/mm] R / [mm] p_{1}^{n_{1}} [/mm] x ... x R / [mm] p_{i}^{n_{i}} [/mm] und [mm] a_{i} \in [/mm] R , i=1,...r mit [mm] \pi_{a_{i}}(a_{i}) [/mm] = [mm] \overline{a_{l}}. [/mm] Dann ist [mm] \summe_{j=1}^{r} a_{j}e_{j} [/mm] ein Urbild von [mm] \overline{a} [/mm] unter [mm] \phi [/mm] denn [mm] \pi_{i}\summe_{j=1}^{r} a_{j}e_{j} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{r} \pi_{i}(a_{j})\pi_{i}(e_{j}) [/mm] = [mm] \pi_{i}(a_{i}) [/mm] = [mm] \overline{a_{l}}. [/mm] Es ist [mm] Ker(\phi) [/mm] = {a' [mm] \in [/mm] R | für alle i [mm] \in [/mm] {1,...,r}: [mm] p_{i}^{n_{i}} [/mm] | a'} = {a' [mm] \in [/mm] R | a | a' } = (a)
Was sind [mm] e_{j} [/mm] und [mm] d_{j} [/mm] für Elemente? Bei e hätte ich jetzt gedacht, handelt es sich wieder um die Einheit, aber das ist d dann? Wie ist der Beweis ganz allgemein zu verstehen? Kann man den irgendwie "in Worte" fassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 So 13.09.2015 | | Autor: | hippias |
> Blöde Frage, aber du schreibst auswendig können...
> Impliziert das, dass ich die Sätze auch verstanden haben
> muss? Stumpfes Auswendiglernen bringt mich vermutlich nicht
> weiter, oder?
Auf eine vernuenftige Antwort zu diesen Fragen wirst Du sicherlich auch alleine kommen. Anderenfalls solltest Du Dich ernsthaft fragen... aber das sind schon zuviel der Worte!
>
> Okay, was das e ist, weiß ich jetzt. Kann dieses e immer
> nur 1 oder -1 sein?
> Einheit ist in meinem Skript wie folgt
> definiert: Ein Element x [mm]\in[/mm] R heißt Einheit, falls ein x'
> [mm]\in[/mm] R existiert mit xx'=x'x=1. Demnach muss es nicht
> zwingend 1 oder -1 sein?
Richtig, ein Ring kann viele Einheiten haben, keineswegs nur $1$ und $-1$.
> Warum ist e [mm]\in[/mm] R*, also im
> Dualraum?
Das ist ein Missverstaendnis. [mm] $R^{\*}$ [/mm] bezeichnet keineswegs einen Dualraum, $R$ ist ja auch i.a. kein Vektorraum, sondern [mm] $R^{\*}$ [/mm] ist ein gaengige Bezeichnung fuer die Menge der Einheiten des Rings $R$.
>
> Der Rest ist mir glaube ich soweit erstmal klar. Allerdings
> hänge ich zudem beim Beweis. Dieser sieht in meinem Skript
> wie folgt aus:
>
> [mm]\phi[/mm] ist surjektiv: Sei j [mm]\in[/mm] {1,...,r}. Die Elemente
> [mm] $p_{i}^{n_{i}}$, [/mm]
Es soll sicher [mm] $p_{j}^{n_{j}}$ [/mm] heissen.
> [mm] $\produkt_{i \not= j}^{} p_{i}^{n_{i}} \in [/mm] R$
> sind Teilerfremd, also gibt es Elemente [mm]e_{j} \in (\produkt_{i \not= j}^{} p_{i}^{n_{i}}[/mm]
> ) und [mm]d_{j} \in (\produkt_{i \not= j}^{} p_{i}^{n_{i}})[/mm] mit
Hier hast Du Dich verschrieben. Es soll sicher [mm] $e_{j}\in (p_{j}^{n_{j}})$ [/mm] und [mm] $d_{j}\in (\produkt_{i \not= j}^{} p_{i}^{n_{i}})$ [/mm] heissen.
> [mm]e_{j}[/mm] + [mm]d_{j}[/mm] = 1. Es gilt dann [mm]\pi_{i}(e_{j})[/mm] = 0 für i
> [mm]\not=[/mm] j und [mm]\pi_{j}(e_{j})[/mm] = [mm]\pi_{j}(e_{j})+0[/mm] =
> [mm]\pi_{j}(e_{j})+\pi_{j}(d_{j})[/mm] = [mm]\pi_{j}(e_{j}+d_{j})[/mm] =
> [mm]\pi_{j}(1)[/mm] = 1. Sei [mm]\overline{a}[/mm] =
> [mm](\overline{a_{l}})_{i=1}^{r} \in[/mm] R / [mm]p_{1}^{n_{1}}[/mm] x ... x
> R / [mm]p_{i}^{n_{i}}[/mm] und [mm]a_{i} \in[/mm] R , i=1,...r mit
> [mm]\pi_{a_{i}}(a_{i})[/mm] = [mm]\overline{a_{l}}.[/mm] Dann ist
> [mm]\summe_{j=1}^{r} a_{j}e_{j}[/mm] ein Urbild von [mm]\overline{a}[/mm]
> unter [mm]\phi[/mm] denn [mm]\pi_{i}\summe_{j=1}^{r} a_{j}e_{j}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{r} \pi_{i}(a_{j})\pi_{i}(e_{j})[/mm] =
> [mm]\pi_{i}(a_{i})[/mm] = [mm]\overline{a_{l}}.[/mm] Es ist [mm]Ker(\phi)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {a'
> [mm]\in[/mm] R | für alle i [mm]\in[/mm] {1,...,r}: [mm]p_{i}^{n_{i}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| a'} =
> {a' [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R | a | a' } = (a)
>
> Was sind [mm]e_{j}[/mm] und [mm]d_{j}[/mm] für Elemente? Bei e hätte ich
> jetzt gedacht, handelt es sich wieder um die Einheit, aber
> das ist d dann?
Nein. Es wurde geschrieben: [mm] $e_{j} \in (p_{j}^{n_{j}})$ [/mm] und [mm] $d_{j} \in (\produkt_{i \not= j}^{} p_{i}^{n_{i}})$. [/mm] Also ist [mm] $e_{j}$ [/mm] ein Element des von [mm] $p_{j}^{n_{j}}$ [/mm] erzeugten Ideals und [mm] $d_{j}$ [/mm] ein Element des von [mm] $\produkt_{i \not= j}^{} p_{i}^{n_{i}}$ [/mm] erzeugten Ideals. Es ist zu Anfang gewoehnungsbeduerftig, dass die Bedeutungen der Variablen oft wechseln, aber das ist normal und es wurde ja ganz klar ausgesagt, welcher Art [mm] $e_{j}$ [/mm] und [mm] $d_{j}$ [/mm] sind.
Die Aussage, dass wenn [mm] $a,b\in [/mm] R$ teilerfremde Elemente eines Hauptidealsrings sind, dass es dann [mm] $e\in [/mm] (a)$ und [mm] $d\in [/mm] (b)$ mit $e+d=1$ gibt, habt ihr sicher in der Vorlesung bewiesen.
> Wie ist der Beweis ganz allgemein zu
> verstehen? Kann man den irgendwie "in Worte" fassen?
Kannst Du das etwas praeziser fassen?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:48 Di 15.09.2015 | | Autor: | Stef99 |
Du hast recht, mir sind da ein paar Sachen durcheinander geraten aber du hast es wie in meinem Skript korrigiert, außer dass bei mir [mm] e_{j} \in (\produkt_{i \not= j}^{}p_{i}^{n_{i}}) [/mm] und [mm] d_{j} \in (p_{j}^{n_{j}}) [/mm] ist.
Ich habe mich noch mal ausführlich damit beschäftigt. Eine Sache zu dem Satz verstehe ich nicht: Welche Bedeutung hat der Kern bzw. warum "taucht er plötzlich auf"?
Im Beweis ist mir nicht klar, wieso [mm] e_{j}+d_{j} [/mm] = 1 ist. Müsste nicht eigentlich der größte gemeinsame Teiler von [mm] e_{j} [/mm] und [mm] d_{j} [/mm] = 1 sein?
Naja, kann man z.B. anhand eines Beispiels vielleicht zeigen, welcher Schritt des Beispiels sich hinter dem jeweiligen Schritt im Beweis versteckt? Ich kann mir das schwer vorstellen. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Di 15.09.2015 | | Autor: | hippias |
> Du hast recht, mir sind da ein paar Sachen durcheinander
> geraten aber du hast es wie in meinem Skript korrigiert,
> außer dass bei mir [mm]e_{j} \in (\produkt_{i \not= j}^{}p_{i}^{n_{i}})[/mm]
> und [mm]d_{j} \in (p_{j}^{n_{j}})[/mm] ist.
>
> Ich habe mich noch mal ausführlich damit beschäftigt.
> Eine Sache zu dem Satz verstehe ich nicht: Welche Bedeutung
> hat der Kern bzw. warum "taucht er plötzlich auf"?
Der Kern entspringt der Natur der Sache. Wenn [mm] $\phi:R\to [/mm] S$ ein surjektiver Homomorphismus der Ringe $R$ und $S$ ist, dann besagt der erste Isomorphiesatz, dass [mm] $R/Kern\phi\cong [/mm] S$ ist. So werden haeufig Isomorphismen konstruiert.
>
> Im Beweis ist mir nicht klar, wieso [mm]e_{j}+d_{j}[/mm] = 1 ist.
> Müsste nicht eigentlich der größte gemeinsame Teiler von
> [mm]e_{j}[/mm] und [mm]d_{j}[/mm] = 1 sein?
Die richtige Frage waere: Wieso koennen [mm] $e_{j}$ [/mm] und [mm] $d_{j}$ [/mm] als Elemente der entsprechenden Ideale so gewaehlt werden, dass [mm] $e_{j}+d_{j}=1$ [/mm] gilt?
Ich habe Dir den Satz in meiner letzten Mitteilung beigefuegt. Du findest ihn auch in Deinen Vorlesungsunterlagen bzw. im vielen Buechern.
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> Naja, kann man z.B. anhand eines Beispiels vielleicht
> zeigen, welcher Schritt des Beispiels sich hinter dem
> jeweiligen Schritt im Beweis versteckt? Ich kann mir das
> schwer vorstellen. :/
Ich jedenfalls habe dazu keine grosse Lust, aber vielleicht jemand anderes. Am besten waere es wohl, wenn Du es anhand eines Beispiels versuchen wuerdest, sagen wir fuer $n= 720$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:43 Fr 18.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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