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| Aufgabe | Sei K ein Körper, sei V ein K-Vektorraum, und sei B = [mm] (v_1, v_2,.......,v_n) [/mm] eine Basis von V.
Sei f [mm] \in [/mm] End(V) definiert durch [mm] f(v_i) [/mm] = [mm] v_i_+_1 [/mm] für alle [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n -1 und [mm] f(v_n) [/mm] = [mm] v_1.
[/mm]
Berechnen sie das charakteristische Polynom von f.
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hallo,
ich habe die Lösung schon gegeben, verstehe aber nicht komplett, wie man auf die Lösung kommt. Ich weiß generell, wie man das charakteristische Polynom berechnet. Nur in diesem Fall, da die Größe der Determinante ja nicht genau festgelegt ist, komme ich mit der Berechnung nicht klar. Um das charakteristische Polynom zu erhalten, muss man folgende Determinante berechnen:
[mm] \begin{bmatrix}
T & 0 & \cdots & 0 & -1\\
-1 & T & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots \\
0 & 0& \cdots & T & 0\\
0 & 0& \cdots & -1 & T
\end{bmatrix} [/mm]
Man kann nun nach der ersten Zeile entwickeln und erhält:
[mm] T\begin{bmatrix}
T & 0 & \cdots & 0 & 0\\
-1 & T & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots \\
0 & 0& \cdots & T & 0\\
0 & 0& \cdots & -1 & T
\end{bmatrix} [/mm] + [mm] (-1)^n^+^1(-1) \begin{bmatrix}
-1 & T & \cdots & 0 & 0\\
0 &-1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots \\
0 & 0& \cdots &-1 & T\\
0 & 0& \cdots & 0 & -1
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] T^n [/mm] + [mm] (-1)^2^n [/mm] (-1) = [mm] T^n [/mm] -1
Ich verstehe eigentlich alles, allerdings nicht wie man auf den Ausdruck zwischen den beiden Gleichheitszeichen kommt. Kann mir da jemand weiterhelfen??
Viele grüße!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mi 18.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> [mm]T\begin{bmatrix}
T & 0 & \cdots & 0 & 0\\
-1 & T & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots \\
0 & 0& \cdots & T & 0\\
0 & 0& \cdots & -1 & T
\end{bmatrix}[/mm] + [mm](-1)^n^+^1(-1) \begin{bmatrix}
-1 & T & \cdots & 0 & 0\\
0 &-1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots \\
0 & 0& \cdots &-1 & T\\
0 & 0& \cdots & 0 & -1
\end{bmatrix}[/mm] = [mm]T^n[/mm] + [mm](-1)^2^n[/mm] (-1) = [mm]T^n[/mm] -1
Die Determinante einer oberen oder unteren Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente, also lautet die Determinante ausführlich:
$T * [mm] T^{n-1} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1} [/mm] * (-1) * [mm] (-1)^{n-1}.$
[/mm]
Ist das verständlicher?
LG
Will
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ok, vielen dank jetzt hab ichs verstanden!
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