charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien K ein Körper [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] A\in M_{n}(K). [/mm] Man bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von A in den folgenden Fällen
[mm] K=\IF_{5},n=4 [/mm] A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 4\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 &2 &1 } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Nun das charakteristische Polynom hab ich nach einigem Rechnen bestimmt
und habe [mm] \chi_{A} [/mm] = [mm] \lambda^4 [/mm] - [mm] 4\lambda^3 [/mm] - [mm] 12\lambda^2 [/mm] - [mm] 10\lambda [/mm] + 9 heraus bekommen
Mein Problem besteht nun darin die Eigenwerte herauszufinden da wir uns ja im [mm] \IF_{5} [/mm] befinden, der ja aus den Elementen {0,1,2,3,4} besteht
Also ist meine Frage welche Besonderheiten hier vorliegen und wie ich die Eigenwerte insbesondere herauskriege
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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> Seien K ein Körper [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]A\in M_{n}(K).[/mm] Man
> bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte
> von A in den folgenden Fällen
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> [mm]K=\IF_{5},n=4[/mm] A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 4\\
1 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 3 &2 &1 }[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Nun das charakteristische Polynom hab ich nach einigem
> Rechnen bestimmt
> und habe [mm]\chi_{A}[/mm] = [mm]\lambda^4[/mm] - [mm]4\lambda^3[/mm] - [mm]12\lambda^2[/mm] -
> [mm]10\lambda[/mm] + 9 heraus bekommen
Hallo,
ich habe das nicht nachgerechnet.
Da Du im [mm] F_5 [/mm] rechnest, ist
[mm] \lambda^4-4\lambda^3-12\lambda^2-10\lambda+9=\lambda^4+\lambda^3+3\lambda^2+4.
[/mm]
Die Eigenwerte bekommst Du, indem Du schaust, welche Elemente von [mm] F_5 [/mm] Nullstellen sind.
Gruß v. Angela
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> > Seien K ein Körper [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]A\in M_{n}(K).[/mm] Man
> > bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte
> > von A in den folgenden Fällen
> >
> > [mm]K=\IF_{5},n=4[/mm] A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 4\\
1 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 3 &2 &1 }[/mm]
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> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt
> >
> > Nun das charakteristische Polynom hab ich nach einigem
> > Rechnen bestimmt
> > und habe [mm]\chi_{A}[/mm] = [mm]\lambda^4[/mm] - [mm]lambda^3[/mm] - > [mm]12\lambda^2[/mm] -
> > [mm]10\lambda[/mm] + 9 heraus bekommen
>
> Hallo,
>
> ich habe das nicht nachgerechnet.
>
> Da Du im [mm]F_5[/mm] rechnest, ist
> [mm]\lambda^4-4\lambda^3-12\lambda^2-10\lambda+9=\lambda^4+\lambda^3+3\lambda^2+4.[/mm]
Das is ja mein Problem bei dieser Aufgabe ich weiss nicht, wie du auf dieses Polynom kommst?
>
> Die Eigenwerte bekommst Du, indem Du schaust, welche
> Elemente von [mm]F_5[/mm] Nullstellen sind.
heisst das, dass ich die elementen von [mm]F_5[/mm] einzeln in das Polynom einsetzen muss oder muss ich einfach das Polynom nach Nullstellen untersuchen. Stehe da ein bisschen auf dem Schlauch.
>
> Gruß v. Angela
>
Trotzdem schonmal danke für deine Hilfe und mein ausgerechnetes Polynom müsste stimmen habe es online schon überprüft
Grüße vom eddie
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Hallo eddiebingel,
> >
> > > Seien K ein Körper [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]A\in M_{n}(K).[/mm] Man
> > > bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte
> > > von A in den folgenden Fällen
> > >
> > > [mm]K=\IF_{5},n=4[/mm] A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 4\\
1 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 3 &2 &1 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt
> > >
> > > Nun das charakteristische Polynom hab ich nach einigem
> > > Rechnen bestimmt
> > > und habe [mm]\chi_{A}[/mm] = [mm]\lambda^4[/mm] - [mm]lambda^3[/mm] - >
> [mm]12\lambda^2[/mm] -
> > > [mm]10\lambda[/mm] + 9 heraus bekommen
> >
> > Hallo,
> >
> > ich habe das nicht nachgerechnet.
> >
> > Da Du im [mm]F_5[/mm] rechnest, ist
> >
> [mm]\lambda^4-4\lambda^3-12\lambda^2-10\lambda+9=\lambda^4+\lambda^3+3\lambda^2+4.[/mm]
>
> Das is ja mein Problem bei dieser Aufgabe ich weiss nicht,
> wie du auf dieses Polynom kommst?
Na, die Koeffizienten sind aus [mm]\IF_5[/mm], also [mm]\in\{0,1,2,3,4\}[/mm]
(eigentlich noch mit einem Strich drüber als Restklassen ...)
Der erste ist 1 und [mm]1 \ \equiv \ 1 \ \ \operatorname{mod}(5)[/mm]
Def.: [mm]a \ \equiv \ b \ \ \operatorname{mod}(m) \ \gdw \ m\mid (a-b)[/mm]
Der zweite ist -4 und [mm]-4 \ \equiv \ 1 \ \ \operatorname{mod}(5)[/mm]
[mm]-4[/mm] und [mm]1[/mm] lassen bei Division durch 5 denselben Rest, oder [mm]5\mid (-4-1)[/mm]
Der dritte ist -12 und [mm]-12 \ \equiv \ 3 \ \ \operatorname{mod}(5)[/mm]
Der vierte ist -10 und [mm]-10 \ \equiv \ 0 \ \ \operatorname{mod}(5)[/mm]
Der letzte ist 9 und [mm]9 \ \equiv 4 \ \ \operatorname{mod}(5)[/mm]
> >
> > Die Eigenwerte bekommst Du, indem Du schaust, welche
> > Elemente von [mm]F_5[/mm] Nullstellen sind.
>
> heisst das, dass ich die elementen von [mm]F_5[/mm] einzeln in das
> Polynom einsetzen muss oder muss ich einfach das Polynom
> nach Nullstellen untersuchen.
Ja, ganz genau!
Den Wert, den du beim Einsetzen für das Polynom erhälts, musst du natürlich auch modulo 5 nehmen.
Wenn also 10 herauskommt, ist das (in [mm]\IF_5[/mm]) dasselbe wie 0
> Stehe da ein bisschen auf dem
> Schlauch.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Trotzdem schonmal danke für deine Hilfe und mein
> ausgerechnetes Polynom müsste stimmen habe es online schon
> überprüft
>
> Grüße vom eddie
Gruß
schachuzipus
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> Hallo eddiebingel,
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> > >
> > > > Seien K ein Körper [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]A\in M_{n}(K).[/mm] Man
> > > > bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte
> > > > von A in den folgenden Fällen
> > > >
> > > > [mm]K=\IF_{5},n=4[/mm] A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 4\\
1 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 3 &2 &1 }[/mm]
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> > > >
> > > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > > Internetseiten gestellt
> > > >
> > > > Nun das charakteristische Polynom hab ich nach einigem
> > > > Rechnen bestimmt
> > > > und habe [mm]\chi_{A}[/mm] = [mm]\lambda^4[/mm] - [mm]lambda^3[/mm] - >
> > [mm]12\lambda^2[/mm] -
> > > > [mm]10\lambda[/mm] + 9 heraus bekommen
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe das nicht nachgerechnet.
> > >
> > > Da Du im [mm]F_5[/mm] rechnest, ist
> > >
> >
> [mm]\lambda^4-4\lambda^3-12\lambda^2-10\lambda+9=\lambda^4+\lambda^3+3\lambda^2+4.[/mm]
> >
> > Das is ja mein Problem bei dieser Aufgabe ich weiss nicht,
> > wie du auf dieses Polynom kommst?
>
> Na, die Koeffizienten sind aus [mm]\IF_5[/mm], also
> [mm]\in\{0,1,2,3,4\}[/mm]
>
> (eigentlich noch mit einem Strich drüber als Restklassen
> ...)
>
> Der erste ist 1 und [mm]1 \ \equiv \ 1 \ \ \operatorname{mod}(5)[/mm]
>
> Def.: [mm]a \ \equiv \ b \ \ \operatorname{mod}(m) \ \gdw \ m\mid (a-b)[/mm]
>
> Der zweite ist -4 und [mm]-4 \ \equiv \ 1 \ \ \operatorname{mod}(5)[/mm]
>
> [mm]-4[/mm] und [mm]1[/mm] lassen bei Division durch 5 denselben Rest, oder
> [mm]5\mid (-4-1)[/mm]
>
> Der dritte ist -12 und [mm]-12 \ \equiv \ 3 \ \ \operatorname{mod}(5)[/mm]
>
> Der vierte ist -10 und [mm]-10 \ \equiv \ 0 \ \ \operatorname{mod}(5)[/mm]
>
> Der letzte ist 9 und [mm]9 \ \equiv 4 \ \ \operatorname{mod}(5)[/mm]
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> > >
> > > Die Eigenwerte bekommst Du, indem Du schaust, welche
> > > Elemente von [mm]F_5[/mm] Nullstellen sind.
> >
> > heisst das, dass ich die elementen von [mm]F_5[/mm] einzeln in das
> > Polynom einsetzen muss oder muss ich einfach das Polynom
> > nach Nullstellen untersuchen.
>
> Ja, ganz genau!
>
>
> Den Wert, den du beim Einsetzen für das Polynom erhälts,
> musst du natürlich auch modulo 5 nehmen.
>
> Wenn also 10 herauskommt, ist das (in [mm]\IF_5[/mm]) dasselbe wie
> 0
>
> > Stehe da ein bisschen auf dem
> > Schlauch.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> >
> > Trotzdem schonmal danke für deine Hilfe und mein
> > ausgerechnetes Polynom müsste stimmen habe es online schon
> > überprüft
> >
> > Grüße vom eddie
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Vielen Dank sehr gute Erklärung jetzt hab auch ich es endlich gerafft :D
Das heißt zusammenfassend
[mm] \chi_{A} [/mm] = [mm] \lambda^4+\lambda^3+3\lambda^2+4
[/mm]
[mm] \chi_{A}(0) [/mm] = 4 ; [mm] 4\equiv4 [/mm] mod (5) [mm] \Rightarrow [/mm] kein Eigenwert
[mm] \chi_{A}(1) [/mm] = 9 ; [mm] 9\equiv4 [/mm] mod (5) [mm] \Rightarrow [/mm] kein Eigenwert
[mm] \chi_{A}(2) [/mm] = 40 ; [mm] 40\equiv0 [/mm] mod (5) [mm] \Rightarrow [/mm] Eigenwert
[mm] \chi_{A}(3) [/mm] = 139 ; [mm] 139\equiv4 [/mm] mod (5) [mm] \Rightarrow [/mm] kein Eigenwert
[mm] \chi_{A}(4) [/mm] = 372 ; [mm] 372\equiv2 [/mm] mod (5) [mm] \Rightarrow [/mm] kein Eigenwert
Also Haben wir 2 als einzigen Eigenwert!
Stimmt das soweit?
mfg eddie
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Hallo nochmal,
zitiere doch bitte mit etwas mehr Bedacht.
Unnötiges kannst du weglöschen ...
> Vielen Dank sehr gute Erklärung jetzt hab auch ich es
> endlich gerafft :D
> Das heißt zusammenfassend
> [mm]\chi_{A}[/mm] = [mm]\lambda^4+\lambda^3+3\lambda^2+4[/mm]
> [mm]\chi_{A}(0)[/mm] = 4 ; [mm]4\equiv4[/mm] mod (5) [mm]\Rightarrow[/mm] kein
> Eigenwert
> [mm]\chi_{A}(1)[/mm] = 9 ; [mm]9\equiv4[/mm] mod (5) [mm]\Rightarrow[/mm] kein
> Eigenwert
> [mm]\chi_{A}(2)[/mm] = 40 ; [mm]40\equiv0[/mm] mod (5) [mm]\Rightarrow[/mm]
> Eigenwert
> [mm]\chi_{A}(3)[/mm] = 139 ; [mm]139\equiv4[/mm] mod (5) [mm]\Rightarrow[/mm] kein
> Eigenwert
> [mm]\chi_{A}(4)[/mm] = 372 ; [mm]372\equiv2[/mm] mod (5) [mm]\Rightarrow[/mm] kein
> Eigenwert
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> Also Haben wir 2 als einzigen Eigenwert! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Stimmt das soweit?
Ja, nun musst du noch überprüfen, in welcher Vielfachheit er auftritt.
Ist es ein einfacher oder mehrfacher Eigenwert?
Dazu kannst du eine Polynomdivision machen.
Denke daran, dass du in [mm]\IF_5[/mm] bist ...
Spalte mal den Linearfaktor [mm](\lambda-2)[/mm] bzw. in [mm]\IF_5[/mm] dann [mm](\lambda+3)[/mm] ab.
[mm]\chi(\lambda):(\lambda+3)=\ldots[/mm]
Aber nicht den Kopf verlieren bei den Koeffizienten 
> mfg eddie
Gruß
schachuzipus
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