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| Aufgabe | | Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Sei [mm] P_n [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n und sei d: [mm] P_n \to P_n [/mm] die Ableitung. Bestimme das charakteristische Polynom von d. |
Hallo,
habe folgenden Lösungsansatz:
Ich brauche ja erstmal eine Matrix P für die Abbildung d: [mm] P_n \in P_n [/mm] .
Ich bin mir aber ein bisschen unsicher, denn in den Spalten der Matrix stehen ja die Bilder der Basisvektoren von [mm] P_n. [/mm] Sei [mm] T^{0}, T^{1}, [/mm] ..., [mm] T^{n} [/mm] Basis von [mm] P_n. [/mm]
Wenn ich jetzt [mm] T^{0} [/mm] abbilde und bezüglich der gleichen Basis abbilde, bekomme ich in der ersten Spalte lauter Nullen. Ich habe folgene Matrix raus.
[mm] P=\pmat{0 & 1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & ... & 0 \\ . \\ . \\ . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0}
[/mm]
Um das charakteristische Polynom zu berechnen brauche ich
[mm] p_f=det(P-TE_n_+_1)
[/mm]
d.h. dass ich dann ganz oben links in der Matrix statt der Null ein -T stehen habe und das auf der ganzen Diagonalen bis runter zur untersten rechten Null.
Dann bekomme ich ja folgendes raus:
[mm] p_f=det(P-TE_n_+_1)=(-T)^{n+1}
[/mm]
Bin ich dann schon fertig oder ist meine aufgestellte Matrix falsch? Ich habe mir schon überlegt gehabt, ob ich die erste Spalte und die letzte Zeile weglassen kann.
Bitte um Hilfe.
Vielen vielen Dank für jede Antwort.
Gruß Walodja1987
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Hallo!
Deine Überlegungen sind richtig und das charakteristische Polynom auch. Noch eine Bestätigung, die dir sicher einleuchtet: Das wiederholte Ableiten von Polynomen führt irgendwann zum Nullpolynom. Folglich muss auch die Ableitungsmatrix A beim immer neuen Dranmultiplizieren an dasselbe Polynom den Nullvektor ergeben, egal wie das Anfangspolynom aussah. Das heißt aber gerade, dass die zugehörige lineare Abbildung zu der Abbildungsmatrix A ![[]](/images/popup.gif) nilpotent (d.h. es gibt ein [mm] n\in\IN [/mm] sodass [mm] A^{n} [/mm] = 0) ist.
Wie du unter dem Abschnitt "Äquivalente Definitionen" bei Wikipedia nachlesen kannst (siehe obiger Link), hat das charakteristische Polynom solcher Abbildung gerade die Form [mm] \lambda^{n}. [/mm] Lasse dich nicht vom fehlenden - irritieren, das wird manchmal gern weggelassen, obwohl es hin müsste bzw. das Vorzeichen von charakteristischen Polynomen ist meines Wissens nach relativ egal.
Grüße,
Stefan.
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Super dankeschön für deine Antwort.
Gruß Walodja1987
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