charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Di 25.11.2008 | | Autor: | abakus86 |
| Aufgabe | Das Zahlenschema [mm] \pmat{ -2 & -4 & 2 \\ -12 & -10 & 8 \\ -20 & -20 & 14 }
[/mm]
kann als 3x3 Matrix über den Körpern [mm] \IQ, \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] aufgefasst werden. Finden Sie in allen drei Fällen die Menge aller Eigenwerte und dazugehörigen Eigenvektoren. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe. Wie ich die Eigenwerte und -vektoren ausrechne weiß ich zwar, aber wie ist das genau mit [mm] \IQ \IR [/mm] und [mm] \IC?
[/mm]
Habe gerade die Werte für [mm] \IR [/mm] ausgerechnet. Gelten die Werte dann nicht auch für [mm] \IQ, [/mm] da [mm] \IQ [/mm] ja in [mm] \IR [/mm] liegt?
Und wie berechne ich die Werte für [mm] \IC?
[/mm]
Stell ich da dasselbe charakteristische Polynom auf? Und wie gehts dann weiter? Habe fast noch nie mit komplexen Zahlen zu tun gehabt und weiß nicht genau wie ich diese verwenden soll.
Wenn mein charakt. Polynom z.B. so aussieht: [mm] P_{F}(t)=t^{3}-2t^{2}+4t-8
[/mm]
Kann mir jemand mal kurz vorrechnen wie der Eigenwert über [mm] \IC [/mm] dann ausschaut? Das wär super nett!
|
|
| |
|
Hallo!
Wie das mit [mm] \IQ [/mm] aussieht, weiß ich leider auch nicht genau, aber ich vermute, dass es die gleichen lösungen wie in [mm] \IR [/mm] hat, da nirgends Wurzel 2 oder etwas ähnliches, was auf eine Irrationale Zahl schließen lassen würde vorkommt.
Das Polynom ziehst du ganz normal auseinander, indem du beispielsweise erstmal versuchst eine Nullstelle zu erraten (was in diesem Fall nicht schwierig ist) und dann mit Polynomdivision den Rest zu ermitteln.
Dann siehst du schon, dass das ganze Ding für [mm] \IR [/mm] und [mm] \IQ [/mm] eine Nullstelle und für [mm] \IC [/mm] drei hat.
Falls dir der Tipp nicht hilft, weil du sowas echt noch nie gemacht hast, schreib ich noch kurz was ich raushab, aber probier's erstmal mit den Tipps selbst, bevor du weiterliest, okay?
Also:
Ich hab zuerst die Nullstelle 2 "erraten". Dann sieht das ganze so aus:
-(t²+4)(t-2)
Also ist 2 die NS für [mm] \IR [/mm] und [mm] \IQ.
[/mm]
In diesen beiden Körpern kann t²+4 aber nie Null werden, also musst du hierfür in die Komplexen Zahlen.
(t²+4) ziehst du dann folgendermaßen außeinander:
(t+2i)(t-2i)
Achso, falls du's nicht weißt, weil du noch nie mit Komplexen Zahlen zu tun hattest:
[mm] i=\wurzel{-1} [/mm] , i² = -1
Lies dir am besten mal den Artikel auf Wikipedia durch.
Jedenfalls hast du dann in [mm] \IC [/mm] zwei weitere Nullstellen: 2i & -2i
Natürlich immernoch 2, diese NS verlierst du ja nicht in [mm] \IC.
[/mm]
Danach machst du für die Eigenwerte mit der Cramerschen Regel weiter.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 27.11.2008 | | Autor: | zipp |
Hallo.
Bist du sicher, dass es weiter mit Gramerschen Regel geht ? Denn die [mm] det(A-\lambda I_{n})=0. [/mm] So kann man nach Gram keine Lösung finden.
Kann man überhaupt die dim des Eigenraums berechnen ? Wieviele Eigenvektoren zu suchen sind ?
|
|
|
| |
|
Hallo!
Wenn man dann die Eigenwerte in dem jeweiligen Körper berechnet hat, also in [mm] \IR [/mm] und [mm] \IQ [/mm] den einen, und in [mm] \IC [/mm] eben die drei Stück, erhält man doch die Eigenvektoren durch Lösen von
A*v = [mm] \lambda*v
[/mm]
wobei [mm] \lambda [/mm] nun bekannt ist. Man sucht also die Vektoren, die "betroffen" sind von der tollen Eigenschaft, dass die lineare Abbildung in Form von A sie nur verlängert oder verkürzt bzw. "umdreht". Diese Vektoren sind die Eigenvektoren.
Obige Gleichung lässt sich umstellen zu
[mm] (A-\lambda*E)*v [/mm] = 0
und stellt somit ein homogenes LGS dar. Wenn du [mm] \lambda [/mm] wie wir hier kennst, hast du deine Koeffizientenmatrix. Und du hast recht, da dieses LGS immer mehrere Lösungen hat, bringt die Cramersche Regel hier wenig. Man muss es mit Gauß-Algorithmus lösen.
Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Do 27.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hallo wir haben also bis jetzt sowas hier
$ det(A) [mm] =t^{3}-2t^{2}+4t-8 [/mm] $
durch raten bekommt man $ t=2 $
dann bekommst du die restlichen auch noch raus nämlich:
$ [mm] t_1=2i [/mm] $ und $ [mm] t_2=-2i [/mm] $
Was gilt jetzt für Q,R und C ?
Als nächste berechnest du die Eigenvektoren zu den Eigenwerten indem du den Kern von den jeweiligen t's bestimmt.
Also z.b
$ [mm] Eig(A,2)=(A-2\cdot I)=Ker\pmat [/mm] {...} $
Wenn man einen Eigenvektor berechnet hat lohnt sich immer eine Probe zu machen,dann weißt du ob du richtig liegst.
Wenn du für 2i den Eigenvektor bestimmt hast du dann auch gleichzeitig einen für -2i. Weißt du warum ?
Na dann viel Spass beim rechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 27.11.2008 | | Autor: | abakus86 |
Wie kann ich denn dann die Eigenvektoren ausrechnen für 2i und -2i? Ich rechne und rechne aber irgendwie krieg ichs nicht hin. Kriege die Matrix einfach nicht auf Dreiecksform und mit der Cramerschen Regel funktionierts auch nicht, da dann alle Vektoren 0 werden.
Kan mir jemand helfen oder mir nen Tipp geben wie mans noch lösen kann?
Meine Matrix sieht jetzt folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ -1-i & -2 & 1 \\ -6 & -5-i & 4 \\ -10 & -10 & 7-i }
[/mm]
So und dann gehts nicht weiter... :(
|
|
|
| |
|
Hallo!
Multipliziere die erste Zeile mit (1-i).
Wegen (-1-i) = (-1)*(1+i) ist dann
(-1-i)*(1-i) = -2
und du kannst bequemer mit Gauß erstmal die erste Spalte leeren.
Versuche evtl. Ähnliches dann in der zweiten Zeile.
Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Do 27.11.2008 | | Autor: | RDGabriel |
Ja, da hab ich's wohl n bissl durcheinander gebracht. Ich hab die Cramersche Regel für die EigenWERTE benutzt, und die EigenVEKTOREN natürlich mit Gauß-Elimination berechnet bzw. Die Matrix A minus die jeweiligen Eigenwerte mal der Einheitsmatrix gerechnet und dann das ganze als homogenes Gleichungssystem betrachtet.
Tschuldigung ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 27.11.2008 | | Autor: | denzil |
Erst einmal, die Matrix müsste mit [mm] \lambda=2i [/mm] wie folgt aussehen:
[mm] \pmat{ -1-2i & -2 & 1 \\ -6 & -5-2i & 4 \\ -10 & -10 & 7-2i }
[/mm]
Wenn ich nun die erste Zeile mit (1-2i) multipliziere, erhalte steht in dieser:
[mm] \pmat{ -3 & -2+4i & 1-2i }
[/mm]
Doch wie rechne ich weiter? Hilft es eventuell die in der Aufgabe gegebene Matrix erst zu vereinfachen und damit weiter zu rechnen? Also:
A' = [mm] \pmat{ -1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -2 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Ich würde die Lösung ebenfalls gerne wissen.
Denzil
|
|
|
| |
|
> Erst einmal, die Matrix müsste mit [mm]\lambda=2i[/mm] wie folgt
> aussehen:
>
> [mm]\pmat{ -1-2i & -2 & 1 \\ -6 & -5-2i & 4 \\ -10 & -10 & 7-2i }[/mm]
Nein, so sieht die Matrix nicht aus...
Du darfst in A nichts machen, bevor du nicht [mm] \lambda*E [/mm] abgezogen hast! Das ist nicht erlaubt!
$(A - (2i)*E)*v = o$
[mm] $\gdw \left(\pmat{ -2 & -4 & 2 \\ -12 & -10 & 8 \\ -20 & -20 & 14 } - \pmat{2i & 0 & 0\\0& 2i & 0 \\ 0 & 0 & 2i}\right)*v [/mm] = o$
[mm] $\gdw \pmat{ -2-2i & -4 & 2 \\ -12 & -10-2i & 8 \\ -20 & -20 & 14-2i}*v [/mm] = o$
Und erst jetzt, bei der gesamten Koeffizientenmatrix, darfst du kürzen!
Ich überführe das mal in eine erweiterte Koeffizientenmatrix:
[mm] \pmat{ -2-2i & -4 & 2 & | & 0 \\ -12 & -10-2i & 8 & | & 0 \\ -20 & -20 & 14-2i & | & 0}
[/mm]
Nun als erstes jede Zeile durch 2:
[mm] \pmat{ -1-i & -2 & 1 & | & 0 \\ -6 & -5-i & 4 & | & 0 \\ -10 & -10 & 7-i & | & 0}
[/mm]
Und jetzt der "Trick": Erweitern der ersten Zeile mit (1-i):
[mm] \pmat{ -2 & 2i-2 & 1-i & | & 0 \\ -6 & -5-i & 4 & | & 0 \\ -10 & -10 & 7-i & | & 0}
[/mm]
Nun Addieren der ersten Zeile auf die restlichen in geeigneter Weise:
[mm] \pmat{ -2 & 2i-2 & 1-i & | & 0 \\ 0 & -7i+1 & 3i+1 & | & 0 \\ 0 & -10i & 2+4i & | & 0}
[/mm]
Ich vertausch jetzt mal die letzten zwei Zeilen, doch zuvor erweitere ich die 3. Zeile noch mit [mm] \bruch{1}{2}*i
[/mm]
[mm] \pmat{ -2 & 2i-2 & 1-i & | & 0 \\ 0 & -5 & i-2 & | & 0 \\0 & -7i+1 & 3i+1 & | & 0}
[/mm]
Nun die zweite Zeile durch (-5):
[mm] \pmat{ -2 & 2i-2 & 1-i & | & 0 \\ 0 & 1 & \bruch{2}{5}-\bruch{1}{5}*i & | & 0 \\0 & -7i+1 & 3i+1 & | & 0}
[/mm]
Und dann die zweite Zeile geeignet auf die dritte, dann sieht man, dass eine Nullzeile entsteht. (Weil [mm] $\left(\bruch{2}{5}-\bruch{1}{5}*i\right)*\left(-7i+1\right) [/mm] = -1-3*i)$)
[mm] \pmat{ -2 & 2i-2 & 1-i & | & 0 \\ 0 & 1 & \bruch{2}{5}-\bruch{1}{5}*i & | & 0 \\0 & 0 & 0 & | & 0}
[/mm]
Nun kannst du deinen ersten Eigenvektor bestimmen.
Stefan.
|
|
|
|
