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Hallo,
kann mir jemand vielleicht sagen, wie eine Matrix A [mm] \in M_3_3(\IR) [/mm] aussehen könnte, deren charakteristisches Polynom [mm] \chi [/mm] = [mm] T(T^2 [/mm] +1) ist. Ich kann mir einfach nicht vorstellen, wie das gehen soll??
Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
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> Hallo,
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> kann mir jemand vielleicht sagen, wie eine Matrix A [mm]\in M_3_3(\IR)[/mm]
> aussehen könnte, deren charakteristisches Polynom [mm]\chi[/mm] =
> [mm]T(T^2[/mm] +1) ist. Ich kann mir einfach nicht vorstellen, wie
> das gehen soll??
Also den reellen Eigenwert $T=0$ legst Du Dir mal ins erste Diagonalenelement. Für die verbleibende [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix musst Du Dir dann was einfallen lassen. Etwa:
[mm]\pmat{0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0}[/mm]
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Jetzt bin ich irgendwie verwirrt. Das charakteristische Polynom dieser Matrix wäre doch [mm] \chi_A [/mm] = det [mm] \pmat{ T & 0 & 0\\ 0 & T & 1\\ 0 & -1 & T} [/mm] = [mm] T^3, [/mm] oder?
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> Jetzt bin ich irgendwie verwirrt. Das charakteristische
> Polynom dieser Matrix wäre doch
>[mm]\chi_A = det \pmat{ T & 0 & 0\\ 0 & T & 1\\ 0 & -1 & T} = T^3[/mm] oder?
Nein, diese Determinante hast Du falsch ausgerechnet. Bei Entwicklung nach dem $1,1$-Element erhält man doch:
[mm]\vmat{ T & 0 & 0\\ 0 & T & 1\\ 0 & -1 & T}=T\cdot \vmat{T & 1\\-1& T}=T\cdot (T\cdot T-1\cdot (-1))=T\cdot (T^2+1)[/mm]
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ok, diese Rechnung habe ich jetzt verstanden. Allerdings habe ich nicht verstanden, aus welchem Grund ich die Matrix nicht einfach nach der Sarrus Regel ausrechnen kann???
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> ok, diese Rechnung habe ich jetzt verstanden. Allerdings
> habe ich nicht verstanden, aus welchem Grund ich die
> Matrix nicht einfach nach der Sarrus Regel ausrechnen
> kann???
Selbstverständlich kannst Du das machen, sofern Du diese Regel richtig anwendest. Da die Sarrus-Regel aber nur im [mm] $3\times [/mm] 3$-Fall anwendbar ist, habe ich sie inzwischen (mangels Gebrauch) schlicht vergessen: es ist auch, meiner unmassgeblichen Meinung nach, irgendwie unsinnig, sich solche speziellen Regeln zu merken, die ja bloss der "Rechenerleichterung" dienen sollen und die keinerlei tieferen Zusammenhang mit der grundlegenden Theorie (hier von Determinanten) haben. - Wenn es darum ginge, viel und schnell zu rechnen, würde man heute ohnehin einen Computer einsetzen.
Die Tatsache, dass Du die Sarrus-Regel nicht fehlerfrei anwenden kannst, deutet darauf hin, dass Du sie vielleicht auch besser gleich wieder ganz vergessen solltest.
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ok, jetzt hab ich den Fehler gesehen! Vielen Dank nochmal!
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