charakteristischem Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 So 20.07.2008 | | Autor: | natea |
| Aufgabe | Berechnet werden soll das charakteristische Polynom folgender Matrix:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 1 } \in M_4_4 (\IR) [/mm] |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand weiterhelfen. Das charakteristische Polynom folgender Matrix soll berechnet werden. Im Prinzip weiß ich wie das geht. Aber in diesem Fall komme ich beim besten Willen nicht auf die Lösung, die im Skript angegeben ist. Diese lautet: [mm] \chi_A [/mm] = [mm] (T-1)^4 [/mm] . Bei mir ist auch immer ein Faktor (T-2) mit dabei, wenn ich versuche die entsprechende Determinante nach der Laplaceschen Entwicklung zu berechnen.
Kann mir jemand weiterhelfen. Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnet werden soll das charakteristische Polynom
> folgender Matrix:
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> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 1 } \in M_4_4 (\IR)[/mm]
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> Hallo,
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> kann mir vielleicht jemand weiterhelfen. Das
> charakteristische Polynom folgender Matrix soll berechnet
> werden. Im Prinzip weiß ich wie das geht. Aber in diesem
> Fall komme ich beim besten Willen nicht auf die Lösung, die
> im Skript angegeben ist. Diese lautet: [mm]\chi_A[/mm] = [mm](T-1)^4[/mm] .
> Bei mir ist auch immer ein Faktor (T-2) mit dabei, wenn ich
> versuche die entsprechende Determinante nach der
> Laplaceschen Entwicklung zu berechnen.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es bietet sich an, die Determinante von [mm] \pmat{ 2-T & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0-T & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1-T & -1\\ 0 & 1 & 1 & 1-T } [/mm] nach der ersten oder zweiten Zeile zu entwickeln,
am besten rechnest Du mal vor. Mein (elektronischer) Assistent sagt, daß die Lösung des Skripts richtig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 So 20.07.2008 | | Autor: | natea |
also, ich würde dann nach der ersten Zeile entwickeln und erhalte:
(2-T) det [mm]\pmat { T & -1 & 0 \\ 0 & 1- T & -1 \\ 1 & 1 & 1 - T }[/mm] -1 * det [mm]\pmat { 0 & 0-T & -1 \\ -1 & 0 & 1 - T \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
So, um erlich zu sein weiß ich jetzt nicht so richtig weiter. Man könnte ja jetzt weiter die beiden Determinanten noch nach Sarrus berechnen oder auch noch weiter nach Laplace entwickeln. Bin mir allerdings auch nicht sicher,was taktisch klüger wäre. Jedenfalls habe ich gerade versucht weiterzurechnen und bin auf folgendes Ergebnis gekommen: [mm] T^4 [/mm] - [mm] 4T^3 [/mm] + [mm] 4T^2 [/mm] - 2T. Das kann ja aber nicht stimmen, denn bei diesem Polynom ist eins ja keine Nullstelle. Laut der richtigen Lösung von (T [mm] -1)^4 [/mm] ja aber schon. Aber selbst wenn dieses von mir berechnete Polynom stimmen würde, wüßte ich nicht wie ich die irreduziblen Teiler mit ihren Vielfachheiten bei einem Polynom diesen Grades bestimmen könnte, um das Polynom als Produkt von irreduziblen Teilern zu schreiben.
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> also, ich würde dann nach der ersten Zeile entwickeln und
> erhalte:
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> (2-T) det [mm]\pmat { \red{-}T & -1 & 0 \\ 0 & 1- T & -1 \\ 1 & 1 & 1 - T }[/mm]
> -1 * det [mm]\pmat { 0 & 0-T & -1 \\ -1 & 0 & 1 - T \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
Hallo,
das rote Minuszeichen fehlte bei Dir, möglicherweise war's das. Der Rest sieht richtig aus.
>
> So, um erlich zu sein weiß ich jetzt nicht so richtig
> weiter. Man könnte ja jetzt weiter die beiden Determinanten
> noch nach Sarrus berechnen oder auch noch weiter nach
> Laplace entwickeln. Bin mir allerdings auch nicht
> sicher,was taktisch klüger wäre.
Das, was Du am besten kannst.
Jedenfalls habe ich gerade
> versucht weiterzurechnen und bin auf folgendes Ergebnis
> gekommen: [mm]T^4[/mm] - [mm]4T^3[/mm] + [mm]4T^2[/mm] - 2T.
Ich bekomme (mit Sarrus)
(2-T) det [mm]\pmat { \red{-}T & -1 & 0 \\ 0 & 1- T & -1 \\ 1 & 1 & 1 - T }[/mm] -1 * det [mm]\pmat { 0 & 0-T & -1 \\ -1 & 0 & 1 - T \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
= (2-t) (-t(1-t)² + 1 -t ) - (1-t) = (jetzt nicht blindlings Klammern auflösen!!!)
=(1-t)[(2-t) (-t(1-t) + 1 )-1]=(1-t)[-(2-t)t(1-t)+2-t-1] =(1-t)[-(2-t)t(1-t)+1-t]
= (1-t)²[-(2-t)t+1]
=(1-t)²(1-t)²
[mm] =(1-t)^4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Mo 21.07.2008 | | Autor: | natea |
Hallo,
ok, ich konnte jetzt die Rechenschritte soweit nachvollziehen. Aber nur wenn ich davon ausgehe, dass in deiner folgenden Zeile
>
> (1-t)[-(2-t)t(t-1)+2-t-1]
>
wo bei dir (t -1) steht, eigentlich (1 - t) stehen müsste. Wenn das so ist und du dich an dieser Stelle vertan hast, komme ich auch auf das Ergebnis.
Allerding wäre ich selber wohl nicht darauf gekommen es so auszurechnen. Ich hätte dann halt die Klammern aufgelöst, was mich dann zwar vermutlich zum richtigen Ergebnis geführt hätte, aber allerdings nicht in der gewünschten Form.
Woher weiß ich denn, wie ich in diesem Fall weiterrechnen muss bzw. was ich wo ausklammern oder ausmultiplizieren muss, damit ich die gewünschte Form erhalte. Gibt es vielleicht ein Schema, an das ich mich in diesem Fall halten kann????
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Hallo natea
> Ich hätte dann halt die Klammern aufgelöst,
> was mich dann zwar vermutlich zum richtigen Ergebnis
> geführt hätte, aber allerdings nicht in der gewünschten
> Form.
> Woher weiß ich denn, wie ich in diesem Fall weiterrechnen
> muss bzw. was ich wo ausklammern oder ausmultiplizieren
> muss, damit ich die gewünschte Form erhalte. Gibt es
> vielleicht ein Schema, an das ich mich in diesem Fall
> halten kann????
Im vorliegenden Fall wäre das ausmultiplizierte Polynom:
[mm] t^4-4t^3+6t^2-4t+1
[/mm]
Mit etwas Kennerblick sieht man, dass dies schwer nach
der 4. Zeile des Pascalschen Dreiecks aussieht, mit
abwechselnden Vorzeichen. Das müsste also [mm] (t-1)^4 [/mm] sein !
Wenn man dies nicht gleich sieht, geht man vor wie
üblicherweise beim Aufsuchen von Nullstellen bei
Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten: eine erste
Nullstelle (Teiler des konstanten Gliedes) suchen, den
entsprechenden Linearfaktor [mm] (t-t_1) [/mm] abspalten durch
Polynomdivision (bzw. Hornerschema), etc.
LG
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> Hallo,
>
> ok, ich konnte jetzt die Rechenschritte soweit
> nachvollziehen. Aber nur wenn ich davon ausgehe, dass in
> deiner folgenden Zeile
> >
> > (1-t)[-(2-t)t(t-1)+2-t-1]
> >
>
> wo bei dir (t -1) steht, eigentlich (1 - t) stehen müsste.
Hallo,
ja, da ist ein Dreher drin. Ich verbessere das.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Di 22.07.2008 | | Autor: | natea |
ok, vielen Dank erstmal soweit und viele Grüße!
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