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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:18 Di 05.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber mathematiker/in,
Ich muss so eine Aufgabe lösen, ich kenne paar begriffe nicht so richtig. Ich brauche noch mal die Hilfe von Matheraum danke.
Gegeben sie die von einem reelen Parameter [mm] p\in \IR [/mm] abhängige Matrix
A(p):= [mm] \pmat{ 0 & 1 & p\\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
bestimmen Sie
a)char.Polynom von A(p)
b)die Jordanische Normalform A(p)
c) das Minimalpoynom von A(p)
So ich habe das char.Polynom gefunden. Ich habe [mm] (T^{3}+p) [/mm] raus.
Ich glaube es ist ruchtig so? Ich brauche hilfe für die anderen teile. Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Di 05.07.2005 | | Autor: | DeusRa |
Ich habe für das Charakteristische Polynom [mm] (-T^{3}+p) [/mm] raus.
Ist eine schöne Aufgabe......ich werde auch mal darüber nachdenken.
(Muss jedoch selber nochmal die Jordan-Form wiederholen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:29 Mi 06.07.2005 | | Autor: | websting |
Beides stimmt. Das hängt nur davon ab, wie man das charakteristische Polynom definiert:
Bei [mm] P_{A}(T) = \det(A - T*I_{n}) [/mm] ergibt sich [mm]-T^{3}+p[/mm]
Bei [mm] P_{A}(T) = \det(T*I_{n} - A) [/mm] ergibt sich [mm] T^{3}-p[/mm]. Hierbei ändert sich jedoch bei ungeraden n das Vorzeichen der char. Polynoms. Ändert aber nichts an der Nullstellen des Polynoms. Maple benutzt zum Beispiel die zweite Definition. Vermutlich kommt da euer Unterschied her.
Jordansche Normalform ist leider auch bei mir schon eine Weile her.
Gruß Urs
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> Hallo lieber mathematiker/in,
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> Ich muss so eine Aufgabe lösen, ich kenne paar begriffe
> nicht so richtig. Ich brauche noch mal die Hilfe von
> Matheraum danke.
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> Gegeben sie die von einem reelen Parameter [mm]p\in \IR[/mm]
> abhängige Matrix
>
> A(p):= [mm]\pmat{ 0 & 1 & p\\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> bestimmen Sie
> a)char.Polynom von A(p)
> b)die Jordanische Normalform A(p)
> c) das Minimalpoynom von A(p)
>
> So ich habe das char.Polynom gefunden. Ich habe [mm](T^{3}+p)[/mm]
> raus.
Hallo Neco,
das Charakteristische Polynom ist [mm] X_A(T)=-T^3+p=-(T^3-p).
[/mm]
Wohl ein kleiner Rechenfehler, kein Thema.
Diese Fragen, in denen das Char.Pol. vorkommt, haben in der Regel etwas mit Eigenwerten zu tun. Ist nie verkehrt, die zu bestimmen...
Die Eigenwerte findet man durch Bestimmung der Nullstellen des Charakteristischen Polynoms.
Hier sieht man sofort: eine Nullstelle ist [mm] p^\bruch{1}{3}, [/mm] man erhält [mm] X_A(T)=-(T-p^\bruch{1}{3})(T^2+p^\bruch{1}{3}T+p^\bruch{2}{3})=-(T-p^\bruch{1}{3})(T+\bruch{1}{2}p^\bruch{1}{3}(1+\wurzel{3}i))(T+\bruch{1}{2}p^\bruch{1}{3}(1-\wurzel{3}i))
[/mm]
Die Eigenwerte kann man nun sofort ablesen. Im reellen Fall hättest Du allerdings nur einen Eigenwert, Du hast nicht gesagt, ob Du [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] betrachten sollst. Nehmen wir [mm] \IC, [/mm] das ist einfacher.
Das Minimalpolynom [mm] M_A [/mm] von A: Das ist das normierte Polynom kleinsten Grades, für welches [mm] M_A(A)=0 [/mm] gilt. Es hat folgende Eigenschaften, die zum Aufspüren nützlich sind. Es teilt das charakteristische Polynom und hat dieselben Nullstellen.
Was bedeutet das? Angenommen, das Char.Pol. einer Matrix B wäre [mm] X_B(T)=(T-5)^3(T-4)^2(T-3). [/mm] Als Minimalpolynom kommt dann nur ein Polynom in Frage der Gestalt [mm] (T-5)^a(T-4)^b(T-3) [/mm] wobei a [mm] \in{1,2,3}, [/mm] b [mm] \in{1,2} [/mm] ist.
Um herauszufinden, welches es denn nun ist, setzt man B ein und schaut, ob 0 rauskommt. Natürlich fängt man mit dem einfachsten an (B-5E)(B-4E)(B-3E). Erhält man die Nullmatrix, ist man fertig, ansonsten erhöht man den Grad und guckt wieder. (Die Aufgabensind ja meist recht gnädig...)
So, nun aber zu Deinem konkreten Fall: Glück gehabt, die Nullstellen sind einfach, nicht zweifach, nicht dreifach.
Wenn meine Anleitung gut wäre, könntest Du jetzt sofort das Minimalpolynom angeben.
Zur Jordannormalform: oh weh, da will - und möglicherweise: kann - ich mich nicht so allgemein drüber verbreiten. Vielleicht zwei "Kochrezepte" zum Merken:
1.Rezept: Wenn das Minimalpolynom in lauter verschiedene Linearfaktoren der Ordnung 1 zerfällt, ist die Jordansche Normalform besonders einfach: eine Matrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen. Und sonst nix. Nullen.
2.Rezept: erklär ich lieber mit einem Beispiel statt mit vielen Worten. Das Minimalpolynom sei [mm] M(T)=(T-5)^3(T-4)(T-3)^2.
[/mm]
Dann sieht die Jordannormalform so aus
[mm] \pmat{ 5 & 1 & 0 & & & \\ 0 & 5 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 5 & & & \\ & & & 4 & & \\ & & & & 3 & 1 \\ & & & & 0 & 3 }
[/mm]
Nun müßtest Du "Deine" Matrix eigentlich über den Jordan schicken können!
Was ich Dir noch nicht verraten habe, ist, wie Du die entsprechenden Transformationsmatrizen bekommst...
Aber danach ist in Deiner Aufgabe ja gar nicht gefragt... Sie haben was mit den Eigenvektoren zu tun.
Gruß v. Angela
> Ich glaube es ist ruchtig so? Ich brauche hilfe für die
> anderen teile. Danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:46 Do 07.07.2005 | | Autor: | NECO |
Halllo, danke erstmal. Also du hast jetz den polynom in linearfaktoren zerlegt. Ich komme einfach nicht weiter. Ich muss so eine ähnliche Aufgabe auch lösen. Hilfst du mir weiter? Das wird mir echt viel helfen für die Hausaufgaben.
Hier sieht man sofort: eine Nullstelle ist [mm] p^\bruch{1}{3}, [/mm] man erhält [mm] X_A(T)=-(T-p^\bruch{1}{3})(T^2+p^\bruch{1}{3}T+p^\bruch{2}{3})=-(T-p^\bruch{1}{3})(T+\bruch{1}{2}p^\bruch{1}{3}(1+\wurzel{3}i))(T+\bruch{1}{2}p^\bruch{1}{3}(1-\wurzel{3}i)) [/mm]
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> Also du hast jetz den polynom in
> linearfaktoren zerlegt.
Genau, das habe ICH getan.
Und nun bist Du dran. Hast DU Dir denn irgendetwas überlegt? Wo genau hängst Du?
>
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> Hier sieht man sofort: eine Nullstelle ist [mm]p^\bruch{1}{3},[/mm]
> man erhält
> [mm]X_A(T)=-(T-p^\bruch{1}{3})(T^2+p^\bruch{1}{3}T+p^\bruch{2}{3})=-(T-p^\bruch{1}{3})(T+\bruch{1}{2}p^\bruch{1}{3}(1+\wurzel{3}i))(T+\bruch{1}{2}p^\bruch{1}{3}(1-\wurzel{3}i))[/mm]
>
Die Nullstellen des char.Pol. sind die Eigenwerte.
Welches sind denn die Nullstellen?
Was sind also die Eigenwerte?
Welche Nullstellen hat das Minimalpolynom?
Was habe ich Dir über die Gestalt des Minimalpolynoms mitgeteilt? Was ist genauso wie beim charakteristischen? Was kann anders sein?
Wenn Du das herausgefunden hast, können wir uns weiter unterhalten.
Dann helfe ich Dir gerne. Aber die Aufgabe abschreibbereit vorrechnen tue ich nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:04 Mi 06.07.2005 | | Autor: | NECO |
hallo lieber mathematiker/in
kann jemand bitte mit meinem Matrix, mir zeigen wie das geht.
Was brauche ich denn für jordanische Normalform hier?
Ich habe leider nichts vertsanden. Wer hat zeit, und kann mir bitte bitte hier mit meinem matrix zeigen. Damit ich auch solche aufgaben lösen kann danke
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Hallo,
wo genau hakt es denn? Fang doch einfach mal an!
Welches sind denn die Eigenwerte?
Wie lautet das charakteristische Polynom?
Zerfällt es in Linearfaktoren?
Welche Möglichkeiten bleiben denn fürs Minimalpolynom?
Schließlich: welches der Rezepte für die Normalform mußt Du verwenden?
Gruß v. Angela
Wenn Du an einer konkreten Stelle nicht weiterkommst, helfe ich Dir gerne.
Gruß v. Angela
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