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charakteristische Funktionen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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charakteristische Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Do 17.06.2010
Autor: raubkaetzchen

Aufgabe
Seien [mm] X=(X_1,...,X_n) [/mm] ein Zufallsvektor mit Werten in [mm] \IR^n [/mm] und [mm] S=\summe_{j=1}^{n}X_j. [/mm] Zeigen Sie, dass für die charakteristischen Funktionen gilt:
[mm] \phi_X(t,0,...,0)=\phi_{X_1}(t) [/mm] und  [mm] \phi_X(t,...,t)=\phi_S(t) [/mm]

Also ich habe versucht die erste Gleichung zu lösen.

Und zwar habe ich folgendes berechnet:

[mm] \phi_X(t,0,...,0)=\integral_{\IR^n}^{}{e^{i*(t,0,...,0)*(x_1,...,x_n)^tr}F_X( d\overrightarrow{x})} [/mm]
[mm] =\integral_{\IR^n}^{}{e^{i*t*x_1} F_X(d\overrightarrow{x})} [/mm]

warum ist das dasselbe wie:
[mm] \phi_{X_1}(t)=\integral_{\IR}^{}{e^{itx_1} F_{X_1}(dx_1)} [/mm]

kann mir jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank und liebe Grüße

        
Bezug
charakteristische Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Do 17.06.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

du brauchst keine Integrale, sondern einfach nur die Erwartungswertdefinition, machs mal darüber :-)

edit: Aber um deine Frage zu beantworten.

$ [mm] =\integral_{\IR^n}^{}{e^{i\cdot{}t\cdot{}x_1} F_X(d\overrightarrow{x})} [/mm] = [mm] \integral_{\IR}\integral_{\IR}...\integral_{\IR}e^{i\cdot{}t\cdot{}x_1}F_{X_1}d(x_1)F_{X_2}d(x_2)...F_{X_n}d(x_n) [/mm] = [mm] \integral_{\IR}e^{i\cdot{}t\cdot{}x_1}F_{X_1}d(x_1)\integral_{\IR}...\integral_{\IR}1F_{X_2}d(x_2)....F_{X_n}d(x_n) [/mm] = [mm] \phi_{X_1}(t)*1$ [/mm]


MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
charakteristische Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:24 Do 17.06.2010
Autor: raubkaetzchen

Tatsächlich! so einfach ist das, es steht ja sofort da. Aber irgendwie verstehe ich das nicht, denn die Integrale müssten doch ebenso einfach auf einen Nenner gebracht werden können, oder nicht?

Danke schonmal Gonzal!

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
charakteristische Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 Do 17.06.2010
Autor: Gonozal_IX

Hab den Rest der Vollständigkeit halber in meine Antwort schon reineditiert ;-)

edit: Und wo hast du die komische Schreibweise mit dem [mm] $F_Xd(\vec{x})$ [/mm] her?

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
charakteristische Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Do 17.06.2010
Autor: raubkaetzchen

Oh ja natürlich so einfach ist das;-)
Das maß über [mm] \IR [/mm] ist ja 1.

Nun ja, das mit der Schreibweise(also den Vektorpfeil) habe ich so gemacht, weil man normalerweis für vektorwertige Funktionen einfach [mm] F_X(dx) [/mm] schreibt(siehe z.B. sirjaev), wobei implizit x als Vektor gemeint ist.

Ich wollte dies einfach betonen.

Grüße


Bezug
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