charakteristische Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Fr 19.08.2011 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Zeige:
[mm] \phi(x)^{(t)} [/mm] = [mm] \bruch{p*e^{i*t}}{1-((1-p)*e^{i*t})}
[/mm]
[mm] \phi(x)^{(t)} [/mm] ist hierbei die Charakteristische Funktion zu der geometrischen Verteilung. |
Hallo,
ich habe nicht die genaue Fragestellung. Jedenfalls habe ich jedoch die genaue Lösung zu der Aufgabe. Ich verstehe nur einen Zwischenschritt nicht:
[mm] p*e^{i*t}* \summe_{k=0}^{\infty} (e^{i*t}*(1-p))^{k} [/mm] = [mm] \bruch{p*e^{i*t}}{1-e^{i*t}*(1-p)}
[/mm]
ich kann mir vorstellen, dass das über die geometrische Reihe funktioniert, aber ich komme nicht auf den genauen Term.
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Hallo folken,
> Zeige:
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> [mm]\phi(x)^{(t)}[/mm] = [mm]\bruch{p*e^{i*t}}{1-((1-p)*e^{i*t})}[/mm]
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> [mm]\phi(x)^{(t)}[/mm] ist hierbei die Charakteristische Funktion zu
> der geometrischen Verteilung.
>
> Hallo,
>
> ich habe nicht die genaue Fragestellung. Jedenfalls habe
> ich jedoch die genaue Lösung zu der Aufgabe. Ich verstehe
> nur einen Zwischenschritt nicht:
>
> [mm]p*e^{i*t}* \summe_{k=0}^{\infty} (e^{i*t}*(1-p))^{k}[/mm] = [mm]\bruch{p*e^{i*t}}{1-e^{i*t}*(1-p)}[/mm]
>
> ich kann mir vorstellen, dass das über die geometrische
> Reihe funktioniert, aber ich komme nicht auf den genauen
> Term.
Du denkst in die richtige Richtung.
Für $|q|<1$ ist [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}$
[/mm]
Hier ist [mm] $q=e^{it}\cdot{}(1-p)$
[/mm]
Ist [mm] $\left|e^{it}(1-p)\right|<1$ [/mm] ??
Dann wäre [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(e^{it}\cdot{}(1-p)\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{1-\left(e^{it}\cdot{}(1-p)\right)}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Fr 19.08.2011 | | Autor: | folken |
Danke dir,
> Ist [mm]\left|e^{it}(1-p)\right|<1[/mm] ??
ich glaube das muss gelten. Einen anderen weg wüsste ich auch nicht.
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Hallo nochmal,
> Danke dir,
> > Ist [mm]\left|e^{it}(1-p)\right|<1[/mm] ??
> ich glaube das muss gelten. Einen anderen weg wüsste ich
> auch nicht.
'Amen' 
Das ist doch leicht einzusehen:
[mm] $\left|e^{it}(1-p)\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|e^{it}\right|\cdot{}|1-p|$
[/mm]
Was ist [mm] $\left|e^{it}\right|$ [/mm] ??
Und wo kann $1-p$ liegen, wie groß ist also $|1-p|$ höchstens?
Gruß
schachuzipus
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