charakter. Polynom von A < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 So 17.07.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich lerne gerade Matlab und dort gibt es eine Funktion poly(A), welche die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms einer Matrix A ausrechnet. Diese werden ein paar Seiten weiter für einen Satz von Caley-Hamilton benutzt. Nach welchen Schema berechne ich diese Koeffizienten per Hand? In welchen Fällen bringt es mit etwas, diese zu errechnen? Und was besagt der
Satz von Caley-Hamilton?
Vielen Dank fürs Antworten
kruder77
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Hallo,
den Satz von C-H kenn ich nicht.
Beim char. Polynom geht es um die Berechnung von Eigenwerten (bzw. danach um Eigenvektoren).
Sei ein Enomorphismus des K-Vektorraums mit Dimension n gegeben durch die nxn-Matrix A: x -> Ax, dann heißt ein z mit Az = tz (t aus K) ein Eigenvektor und t ein Eigenwert von A. Das Bild von z ist also ein K-Vielfaches von z. (Man intressiert sich dafür, weil bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren die Bilder von A sehr einfach zu berechnen sind). Formt man Az = tz um, erhält man
0 = Az - tz = Az - tEz = (A-tE)z
wobei E die Einheitsmatrix ist, also nur 1 in der Hauptdiagonalen und sonst 0. Das heißt aber, die Matrix A-tE ist nicht injektiv (sie bildet z auf 0 ab), also ist det(A-tE) = 0. Wenn Du A hast, ist t die einzige Unbekannte in det(A-tE), und wenn Du die Determinante berechnest, erhälst Du i.A. ein Polynom vom Grad n, dessen Nullstellen die möglichen Eigenwerte t sind. Dieses Polynom heißt das charakteristische Polynom von A und Du musst zu seiner Bestimmung Determinanten berechnen können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 17.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo kruder77.
> Und was besagt der Satz von Caley-Hamilton?
Sei $V$ ein $n$-dimensionaler [mm] $\IK$-Vektorraum; [/mm] ferner sei [mm] $M\in\IK^{n\times n}$ [/mm] und [mm] $\chi _M\in\IK[x]$ [/mm] das charakteristische Polynom von $M$. Dann gilt [mm] $\chi [/mm] _M(M)=0$.
D.h. wenn du in das charakteristische Polynom einer Matrix die Matrix selbst einsetzt, erhältst du die Nullmatrix. Analog dazu erhältst du die Nullabbildung , wenn du in das charakteristische Polynom einer Abbildung diese Abbildung einsetzt.
Liebe Grüße,
Hanno
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