charakt. Polynom ausrechnen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 So 16.09.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 5 & 1 &1&0&0 \\ -4&1&-2&0&0 \\0&0&3&0&0\\0&0&6&6&1 \\0&0&-6&-1&4 }
[/mm]
Nach dem charakeristischen Polynom ist gefragt |
p = [mm] det\pmat{ 5 -z& 1 &1&0&0 \\ -4&1-z&-2&0&0 \\0&0&3-z&0&0\\0&0&6&6-z&1 \\0&0&-6&-1&4-z } [/mm] = [mm] det\pmat{ 5 -z& 1 &1\\-4&1-z&-2\\0&0&3-z} det\pmat{6-z&1\\-1&4-z}=[(5-z)*(1-z)*(3-z)+8+4*(3-z)][(6-z)*(4-z)+1]
[/mm]
Ich weiß nicht, wie macht man das am geschicktesten?
Liebe Grüße
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Hallo sissile,
> [mm]A=\pmat{ 5 & 1 &1&0&0 \\ -4&1&-2&0&0 \\0&0&3&0&0\\0&0&6&6&1 \\0&0&-6&-1&4 }[/mm]
>
> Nach dem charakeristischen Polynom ist gefragt
> p = [mm]det\pmat{ 5 -z& 1 &1&0&0 \\ -4&1-z&-2&0&0 \\0&0&3-z&0&0\\0&0&6&6-z&1 \\0&0&-6&-1&4-z }[/mm]
> = [mm]det\pmat{ 5 -z& 1 &1\\-4&1-z&-2\\0&0&3-z} det\pmat{6-z&1\\-1&4-z}=[(5-z)*(1-z)*(3-z)+8+4*(3-z)][(6-z)*(4-z)+1][/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie macht man das am geschicktesten?
>
Aus der ersten eckigen Klammer kannst Du noch 3-z ausklammern.
Dann die beiden restelichen Klamern für sich ausmultiplizieren
und die entstehenden quadratischen Polynome lösen.
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 16.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
ich hatte einen Fehler im vorigen Post, +8 gehört weg.
$ [mm] det\pmat{ 5 -z& 1 &1\\-4&1-z&-2\\0&0&3-z} det\pmat{6-z&1\\-1&4-z}=[(5-z)\cdot{}(1-z)\cdot{}(3-z)+4\cdot{}(3-z)][(6-z)\cdot{}(4-z)+1] [/mm] $ [mm] =[(3-z)*((5-z)*(1-z)+4)][(6-z)\cdot{}(4-z)+1] [/mm]
[mm] (6-z)\cdot{}(4-z)+1 [/mm] = [mm] z^2 -10z+25=(z-5)^2
[/mm]
((5-z)*(1-z)+4)= [mm] z^2-6z+9=(z-3)^2
[/mm]
insgesamt: [mm] ((3-z)*(z-3)^2)*(z-3)^2=(z-3)^3 *(z-5)^2
[/mm]
Ich hätte noch eine Frage, ich soll nun die Primärzerlegung ausrechnen.
Habe auch die passende Basis B mit den ganzen basen der Eigenräume und verallgemeinersten Eigenräume.
[mm] [A]_{BB} [/mm] = [mm] S^{-1} [/mm] A S
Muss ich das nun wirklich ausmultiplizieren um zu den werten oberhalb der diagonale zu kommen, da diese ja bei der Primärzerlegung beliebig sind?
LG
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Hallo sissile,
> Hallo,
> ich hatte einen Fehler im vorigen Post, +8 gehört weg.
>
> [mm]det\pmat{ 5 -z& 1 &1\\-4&1-z&-2\\0&0&3-z} det\pmat{6-z&1\\-1&4-z}=[(5-z)\cdot{}(1-z)\cdot{}(3-z)+4\cdot{}(3-z)][(6-z)\cdot{}(4-z)+1][/mm]
> [mm]=[(3-z)*((5-z)*(1-z)+4)][(6-z)\cdot{}(4-z)+1][/mm]
>
> [mm](6-z)\cdot{}(4-z)+1[/mm] = [mm]z^2 -10z+25=(z-5)^2[/mm]
> ((5-z)*(1-z)+4)=
> [mm]z^2-6z+9=(z-3)^2[/mm]
>
>
> insgesamt: [mm]((3-z)*(z-3)^2)*(z-3)^2=(z-3)^3 *(z-5)^2[/mm]
>
Korrekt:
[mm]((3-z)*(z-3)^2)*(z-3)^2=\blue{-}(z-3)^3 *(z-5)^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hätte noch eine Frage, ich soll nun die
> Primärzerlegung ausrechnen.
> Habe auch die passende Basis B mit den ganzen basen der
> Eigenräume und verallgemeinersten Eigenräume.
> [mm][A]_{BB}[/mm] = [mm]S^{-1}[/mm] A S
> Muss ich das nun wirklich ausmultiplizieren um zu den
> werten oberhalb der diagonale zu kommen, da diese ja bei
> der Primärzerlegung beliebig sind?
>
Nein.
> LG
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 16.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
danke für die Überprüfung
> Nein.
Die Antwort Nein ist gut und schön aber wie lese ich das dann heraus, was die werte der Blöcke oberhalb der Diagonalelemente sind??
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Hallo sissile,
> Hallo
>
> danke für die Überprüfung
>
>
> > Nein.
> Die Antwort Nein ist gut und schön aber wie lese ich das
> dann heraus, was die werte der Blöcke oberhalb der
> Diagonalelemente sind??
>
Die Werte der Blöcke oberhalb der Diagonalelemente
sollten bekannt sein, und zwar allgemein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 So 16.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
Entschuldige, aber ich werde aus deiner Antwort nicht schlau.
In der Vorlesung haben wir die Werte von den Blöchen oberhalb der Diagonale in der Primärzerlegung mit [mm] \* [/mm] für beliebig markiert.
LG
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Hallo sissile,
> Hallo
> Entschuldige, aber ich werde aus deiner Antwort nicht
> schlau.
> In der Vorlesung haben wir die Werte von den Blöchen
> oberhalb der Diagonale in der Primärzerlegung mit [mm]\*[/mm] für
> beliebig markiert.
>
Die Basen der Eigenräume und verallgemeinerten Eigenräume
hast Du berechnet, die sogenannte Jordanbasis.
Der elementare Jordanblock der Größe k, k > 1, eines Eigenwerts
sollte doch bekannt sein.
Daraus ergibt sich, daß oberhalb der Diagonalen eine "1" steht.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:47 Mo 17.09.2012 | | Autor: | sissile |
Ich habe mit "jordanblöcken" noch nicht gearbeitet , ich rede von der Primärzerlegung..
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Di 18.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Du hast doch schon (fast) alles, was Du brauchst !
Wirf noch einen Blick auf Satz 9.2.10 in http://fma2.math.uni-magdeburg.de/~pott/Vorlesungen/LAAG06/kapitel9.pdf und Du hast die Primärzerlegung.
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 12:57 Di 18.09.2012 | | Autor: | sissile |
Das Minimalpolynom kommt auch erst später.
Ich poste Mal einfach was ich habe:
$ [mm] A=\pmat{ 5 & 1 &1&0&0 \\ -4&1&-2&0&0 \\0&0&3&0&0\\0&0&6&6&1 \\0&0&-6&-1&4 } [/mm] $ in Primärzerlegung.
[mm] p_A=\blue{-}(z-3)^3 \cdot{}(z-5)^2 [/mm] $
[mm] \delta(A) =\{3,5\}
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = 3, alg VFH 3
[mm] \lambda_2 [/mm] = 5, alg VFH 2
[mm] E_5 [/mm] = ker(A- 5 [mm] I_n) [/mm] = [mm] <\vektor{0\\0\\0\\1\\-1}>
[/mm]
ker((A- 5 [mm] I_n)^2) [/mm] = [mm] <\vektor{0\\0\\0\\1\\-1},\vektor{0\\0\\0\\0\\1}>
[/mm]
[mm] E_3 [/mm] = [mm] ker(A-3I_n)= <\vektor{1\\-2\\0\\0\\0},\vektor{0\\1\\-1\\3\\-3}>
[/mm]
ker((A- 3 [mm] I_n)^2) [/mm] = [mm] <\vektor{1\\-2\\0\\0\\0},\vektor{0\\1\\-1\\3\\-3},\vektor{1\\0\\0\\0\\0}>
[/mm]
[mm] T_{EB} [/mm] = S = [mm] \pmat{0&0&1&0&1\\0&0&-2&1&0\\0&0&0&-1&0\\1&0&0&3&0\\-1&1&0&-3&0}
[/mm]
[mm] [A]_{BB} [/mm] = [mm] S^{-1} [/mm] A S [mm] =\pmat{5&&&&\\0&5&&&\\0&0&3&&\\0&0&0&3&\\0&0&0&0&3}
[/mm]
Leider verstehe ich noch immer nicht wie die obere Dreieckshälfte aussieht bei der Primärzerlegung. laut Satz sind es es Blöcke der Gestalt [mm] A_i [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda_i & &\*\\ &\ddots&\\0&&\lambda_i }
[/mm]
[mm] \* [/mm] beliebige elemente
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 20.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 20.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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