cauchy integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mi 13.06.2012 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Mit Hilfe der Cauchy Integralformel berechne man folgende Integrale
1) [mm] \integral_{|z+1|=1}{\bruch{dz}{(z+1)(z-1)^3} }
[/mm]
2) [mm] \integral_{|z|=\bruch{1}{2}}{\bruch{e^{1-z} dz}{z^3(1-z)} } [/mm] |
hallo zusammen,
die 2 aufgaben muss ich lösen und hier wäre mal mein lösungsvorschlag:
zu 1: hier wende ich die cauchy integralformel für die k-ten ableitungen an und bekomme dann f(z) = [mm] \bruch{1}{z+1} [/mm] f'(z) = [mm] \bruch{-1}{(z+1)^2} [/mm] und f''(z) = [mm] \bruch{2}{(z+1)^3} [/mm] mit [mm] z_0 [/mm] = 1 ergibt sich dann
[mm] \integral_{|z+1|=1}{\bruch{dz}{(z+1)(z-1)^3} } [/mm] = 2 * [mm] \pi [/mm] * i * [mm] \bruch{2}{2^3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] = [mm] \bruch{\pi i}{4}
[/mm]
zu 2: hier wende ich auch die cauchy integralformel für die k-ten ableitungen an und bekomme dann f(z) = [mm] \bruch{e^{^1-z}}{1-z} [/mm] und für die ableitungen f'(z) = [mm] \bruch{2e^{^1-z}}{(1-z)^2} [/mm] und f''(z) = [mm] \bruch{-2e^{1-z}(1-z)+2e^{1-z}}{(1-z)^3} [/mm] mit [mm] z_0 [/mm] = 0 erhalte ich dann
f''(0) = [mm] \bruch{-2e^1 + 2e^1}{1} [/mm] = 0 also für das integral insgesamt den wert 0.
kann mir bitte einer sagen ob das so stimmt oder nicht ? vielen dank im voraus
lg
meep
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Do 14.06.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Mit Hilfe der Cauchy Integralformel berechne man folgende
> Integrale
>
> 1) [mm]\integral_{|z+1|=1}{\bruch{dz}{(z+1)(z-1)^3} }[/mm]
>
> 2) [mm]\integral_{|z|=\bruch{1}{2}}{\bruch{e^{1-z} dz}{z^3(1-z)} }[/mm]
>
> hallo zusammen,
>
> die 2 aufgaben muss ich lösen und hier wäre mal mein
> lösungsvorschlag:
>
> zu 1: hier wende ich die cauchy integralformel für die
> k-ten ableitungen an und bekomme dann f(z) = [mm]\bruch{1}{z+1}[/mm]
> f'(z) = [mm]\bruch{-1}{(z+1)^2}[/mm] und f''(z) = [mm]\bruch{2}{(z+1)^3}[/mm]
> mit [mm]z_0[/mm] = 1 ergibt sich dann
>
> [mm]\integral_{|z+1|=1}{\bruch{dz}{(z+1)(z-1)^3} }[/mm] = 2 * [mm]\pi[/mm] *
> i * [mm]\bruch{2}{2^3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] = [mm]\bruch{\pi i}{4}[/mm]
>
Das stimmt nicht. [mm]|z+1|=1[/mm] bezeichnet die Kreislinie um -1 mit Radius 1. Der Punkt [mm] z_0=1 [/mm] den du betrachtest liegt außerhalb dieses Kreises. Die Windungszahl ist also 0 und du brauchst die Singulariät 1 nicht betrachten. Um das Integral hier auszurechnen musst du dein [mm] f(z)=\frac{1}{(z-1)^3} [/mm] setzen.
> zu 2: hier wende ich auch die cauchy integralformel für
> die k-ten ableitungen an und bekomme dann f(z) =
> [mm]\bruch{e^{^1-z}}{1-z}[/mm] und für die ableitungen f'(z) =
> [mm]\bruch{2e^{^1-z}}{(1-z)^2}[/mm] und f''(z) =
> [mm]\bruch{-2e^{1-z}(1-z)+2e^{1-z}}{(1-z)^3}[/mm] mit [mm]z_0[/mm] = 0
> erhalte ich dann
>
> f''(0) = [mm]\bruch{-2e^1 + 2e^1}{1}[/mm] = 0 also für das integral
> insgesamt den wert 0.
Ich verstehe deine Ableitungen nicht. Meine zweite Ableitung von [mm] f(z)=\frac{e^{1-z}}{1-z} [/mm] ist: [mm] f''(z)=\frac{e^{1-z}(1+z^2)}{(1-z)^3}. [/mm] Wo kommt bei deiner ersten Ableitung die 2 her?
Bei 2) hast du [mm] z_0=0 [/mm] richtig gewählt. Vgl. mit oben 1)
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> kann mir bitte einer sagen ob das so stimmt oder nicht ?
> vielen dank im voraus
>
> lg
>
> meep
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Do 14.06.2012 | | Autor: | meep |
hi teo,
ja bei der 2ten habe ich falsch abgeleitet hab nun das richtige ergebnis.
die erste werd ich dann nochmal rechnen.
vielen dank für die hilfe
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