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Forum "Uni-Lineare Algebra" - boolesche Algebra
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boolesche Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Mi 23.11.2005
Autor: AriR

frage wurde in keinem anderen forum gestell!!

Hey Leute, ich muss die Gesetze von DeMorgen beweisen und darf dabei nur die definition der booleschen Algebra benutze. Ehrlich gesagt hab ich keine Ahnung wie ich das hinbekommen soll, hat jemand von euch eine idee?

und vieleicht noch eine etwas allgemeinere Frage:

Was genau haben die Vereinigung und Schnittmenge etc. der Mengenlehre mit der boolschen Algebra zu tun? gehören zu der booleschen Algebra nich nur die diese logische Verknüpfungen wie UND und ODER? verstehe nicht genau, was zB bedeuten soll m  [mm] \cap [/mm] n = 1 wobei m,n Mengen.
wäre nett wenn mir einer helfen könnte.. gruß ari
        
Bezug
boolesche Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Do 24.11.2005
Autor: Herby

Hallo AriR,

> frage wurde in keinem anderen forum gestellt!!

woher weißt du das? ;-)
  
> Hey Leute, ich muss die Gesetze von DeMorgen beweisen und
> darf dabei nur die definition der booleschen Algebra
> benutze. Ehrlich gesagt hab ich keine Ahnung wie ich das
> hinbekommen soll, hat jemand von euch eine idee?

Na, das geht so:

Sei X eine Menge, für das Komplement von A [mm] \subset [/mm] X gilt [mm] \overline{A}:=\{ x | x \in X \wedge x \not\in A \} [/mm]


zu zeigen:   [mm] \overline{(A \cap B)}= \overline{A}\cup \overline{B} [/mm]

also hast du ein [mm] x\in \overline{A \cap B} [/mm]

[mm] \gdw [/mm]  x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \overline{(x \in A \wedge x \in B)} [/mm]
[mm] \gdw [/mm]  x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm]  (x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm]  ( x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge x\not\in [/mm] A ) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)

damit ist aber

[mm] x\in \overline{A} \vee x\in \overline{B}=x \in \overline{A}\cup \overline{B} [/mm]



> und vieleicht noch eine etwas allgemeinere Frage:
>  
> Was genau haben die Vereinigung und Schnittmenge etc. der
> Mengenlehre mit der boolschen Algebra zu tun? gehören zu
> der booleschen Algebra nich nur die diese logische
> Verknüpfungen wie UND und ODER? verstehe nicht genau, was
> zB bedeuten soll m  [mm]\cap[/mm] n = 1 wobei m,n Mengen.
> wäre nett wenn mir einer helfen könnte.. gruß ari

Du solltest dir einmal ein paar Venn-Diagramme erstellen, dann siehst du ganz schnell, dass zum Beispiel gilt:

X [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) = X [mm] \setminus [/mm] A [mm] \cap [/mm] X [mm] \setminus [/mm] B

Alles Boolsche Algebra :-)


Liebe Grüße
Herby
Bezug
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