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Forum "Mathe Klassen 8-10" - binomische formeln
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binomische formeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Do 17.04.2008
Autor: zitrone

hi,

ich hab da eine aufgabe bekommen, in der ich mir beim rechnen unsicher bin, weil es manchmal an einem x eine ³ also x³ gibt oder vor eineer klammer (...)³.
zudem versteh ich nicht, wie ich eine klammer auflösen soll, wenn vor und hinter ihr nichts steht.

könnte jemand mir nur bei der umformung helfen?

(7x²+14x+7)=24x(x+1)²  

vielleicht?: 7x²+14x+7=24x+x²+2x+1

(x³-2x²+x)=11x²(x-1)²

vielleicht?: x³-2x²+x=11x²-x²-2x+1
aber was ist dann mit der x³??

(25x²+10x+1)²+5x(5x+1)³=(1+5x)³

da weis ich wirklich nicht was ich machen soll.


gruß zitrone

        
Bezug
binomische formeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Do 17.04.2008
Autor: sunshinekid

Na dann fangen wir mal ganz vorne an:

[mm] $(7x^2+14x+7)=24x(x+1)^2$ [/mm]

Die Klammer auf der linken Seite kann man, wie du schon festgestellt hast weglassen. Auf der rechten Seite ist es ein wenig komplizierter.

Du hast ein Produkt aus $24 x$ mal [mm] $(x+1)^2$. [/mm] Letzteres ist eine binomische Formel, die du im Ansatz schon richtig gelöst hast.
Die $24 x$ darfst du dann aber nicht hinzuaddieren, sondern musst multiplizieren.
Also: [mm] $24x*(x^2+2x+1)$ [/mm]

Das wiederum musst du gliedweise ausrechnen:

[mm] $24x*x^2+24x*2x+24x*1 [/mm] = [mm] 24x^3+48x^2+24x$ [/mm]

Also erhälst du:

[mm] $7x^2+14x+7 [/mm] = [mm] 24x^3+48x^2+24x$ [/mm]
Das kannst du dann noch weiter vereinfachen!


Auf zur nächsten:
[mm] $(x^3-2x^2+x)=11x^2(x-1)^2$ [/mm]

Die läuft auch wieder nach dem gleichen Schema ab:
[mm] $x^3-2x^2+x=11x^2(x^2-2x+1)$ [/mm]
[mm] $x^3-2x^2+x=11x^2*x^2-11x^2*2x+11x^2*1$ [/mm]
[mm] $x^3-2x^2+x=11x^4-22x^3+11x^2$ [/mm]
(Ebenfalls noch zu vereinfachen)


Zur letzten:
[mm] $(25x^2+10x+1)^2+5x(5x+1)^3=(1+5x)^3$ [/mm]

Den ersten Teil wirst du wohl oder übel per Hand ausrechnen müssen (das spar ich mir jetzt erstmal)

Der Ausdruck [mm] $(5x+1)^3$ [/mm] ist auch eine binomische Formel. Diese wird aber ein wenig anders berechnet. Solltest du so etwas wie ein Tafelwerk besitzen (du kannst auch
[]hier , []hier oder hier:MBbinomischer Lehrsatz nachlesen) solltest du nach dem Pascalschen Dreieck, den binomischen Formeln und dem Binomischen Lehrsatz sehen.

allgemein:

[mm] (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/mm]

Setzt du nun ein, so erhälst du:

[mm] (5x+1)^3=(5x)^3+3*(5x)^2*1+3*5x*1^2+1^3 [/mm]
[mm] (5x+1)^3=125x^3+75x^2+15x+1 [/mm]

Auf der anderen Seite der Formel hast du [mm] (1+5x)^3 [/mm] stehen. Wegen der Kommutativität MBKommutativgesetz der Addition ist das genau das gleiche wie [mm] (5x+1)^3. [/mm]

also ist:

[mm] (5x+1)^3=(1+5x)^3=125x^3+75x^2+15x+1 [/mm]

Nun kannst du hoffentlich auch die letzte Gleichung ausrechnen.

MfG Sunny
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binomische formeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 Do 17.04.2008
Autor: zitrone

hi,

danke!^^

das hab ich jetzt verstanden,
aber das mit dieser klammer :

(25x²+10x+1)²

versteh ich beim ausklammern nicht so ganz.

und das mit den zahlen hoch 3, wie benutze ich die bei der pq formel?

gruß zitrone
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Bezug
binomische formeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Do 17.04.2008
Autor: lenz

hi
[mm] (25x^{2}+10x+1)^{2}=(25x^{2}+10x+1)*(25x^{2}+10x+1) [/mm]
[mm] =625x^{4}+500x^{3}+150x^{2}+20x+1 [/mm]
hoffe ich hab mich nicht verrechnet.du mußt jeden summanden der eine klammer mit jedem summanden der anderen klammer multiplizieren.bei [mm] x^{3} [/mm] kannst du die pq formel nicht anwenden es sei denn du kannst durch x kürzen.
es ist aber besser wie wetterfrosch schon sagte [mm] 25x^{2}+10x+1 [/mm] als bin.formel zu schreiben
also [mm] (5x+1)^{2} [/mm]
lenz
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binomische formeln: andere Lösung zu Aufgabe1
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Do 17.04.2008
Autor: Wetterfrosch88

Ich würde bei der 1. Aufgabe: 7x²+14x+7=24x(x+1)² die binomische Formel auf der rechten Seite gar nicht ausmultiplizieren, da auf der linken Seite ebenfalls eine binomische Formel zufinden ist, wen man die 7 ausklammert.

7(x²+2x+1)=24x(x+1)² |Dg
7 (x+1)² = 24 (x+1)²

das kannst du dann ja schnell weiter ausrechnen.

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