binomische Summenformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:31 Di 08.06.2010 | | Autor: | noprop |
Ich suche die Ableitung einer Summenformel für eine Reihe, die dem binomischen Satz ähnelt, aber nicht gleicht. Die Reihe lautet zusammen mit der Summenformel:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} 2^{2k} [/mm] = [mm] 5^{n}
[/mm]
Die Summenformel kann also einfacher nicht mehr sein, ich sehe aber noch keinen Weg, diese Formel abzuleiten. In Anlehnung an die Möglichkeit, absolut konvergente Reihen gliedweise miteinander zu multiplizieren und dann auch die Grenzwerte miteinander multiplizieren zu können, habe ich erst einmal eine Reihe in der Form des binomischen Satzes mit einer zweiten Reihe multipiziert, so dass zumindest erst einmal eine gliedweise Multiplikation zu meiner Reihe führt:
[mm] \vektor{\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} 2^{k}} [/mm] * [mm] \vektor{\summe_{k=0}^{n} 2^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} 2^{2k}
[/mm]
Nun sind beide Reihen natürlich nicht konvergent, aber es muss ja einen Weg geben, eine Summenformel abzuleiten. Welches Verfahren kann man hier anwenden? Die Summenformeln der beiden Reihen auf der linken Seite lauten:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} 2^{k} [/mm] = [mm] 3^{n}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} 2^{k} [/mm] = [mm] 2^{n+1}-1
[/mm]
Wie kommt man nun von [mm] 3^{n} [/mm] und [mm] 2^{n+1}-1 [/mm] zu [mm] 5^{n}? [/mm] Mathematica 7 verrät einem übrigens auch mit Trace dazu überhaupt nichts.
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Benutze die Binomialformel
[mm] (a+b)^n=\sum_{k=1}^n{n\choose k}a^kb^{n-k} [/mm]
mit a=4, b=1.
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