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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Di 28.08.2007 | | Autor: | admir |
hallo alle zusammen,
ich hab im moment ein rießen problem.Da ich gestern nich in der schule gewesen bin, kann ich meine hausaufgabe nicht lösen. Ich weiß nicht was man hierbei machen muss:
[mm] (\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n \\ k}=\vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
könnte mir da vielleicht jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
GRUß
ADMIR
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Hallo admir,
schreibe dir doch mal die Definitionen für die beiden Ausdrücke auf der linken Seite hin und versuche, sie umzuformen:
Ich mache mal den Anfang...
Also [mm] \vektor{n\\k-1}+\vektor{n\\k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot{}.....\cdot{}(n-\red{(k-1)}+1)}{(k-1)!}+\frac{n(n-1)(n-2)\cdot{}.....\cdot{}(n-k+2)(n-k+1)}{k!}
[/mm]
[mm] =\frac{n(n-1)(n-2)\cdot{}.....\cdot{}(n-k+2)}{(k-1)!}+\frac{n(n-1)(n-2)\cdot{}.....\cdot{}(n-k+2)(n-k+1)}{k!}
[/mm]
Hier kannst du mal gleichnamig machen, indem du den ersten Bruch mit k erweiterst, also [mm] \cdot{}\frac{k}{k}, [/mm] bedenke: es ist [mm] k\cdot{}(k-1)!=k! [/mm]
Anschließend [mm] n(n-1)(n-2)\cdot{}.....\cdot{}(n-k+2) [/mm] ausklammern und dann kommt das AHA 
Vergleiche das dann mal mit dem Ausdruck für [mm] \vektor{n+1\\k}
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 28.08.2007 | | Autor: | admir |
ich kapiere davon garnichts da das thema ganz neu ist. egalllllllll ein weiterer tag ohne hausaufgaben
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Hallo admir,
nicht den Sand in den Kopf stecken oder so
Wie habt ihr denn [mm] \vektor{n\\k} [/mm] definiert?
Doch bestimmt als [mm] \frac{n(n-1)(n-2)\cdot{}.....\cdot{}(n-k+1)}{k!}
[/mm]
Und [mm] k!=1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}.....\cdot{}k
[/mm]
Also zB. [mm] 4!=1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}4
[/mm]
Alles weitere läuft doch eigentlich nur auf Bruchrechnen hinaus...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Di 28.08.2007 | | Autor: | admir |
danke das du mir helfen willst ,aber ich kapiere nicht die ganze sache an sich.
trotzdem danke
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> ich kapiere nicht die ganze sache an sich.
Das sieht auch irgendwie kompliziert aus mit n und k.
Aber ich mache das mal an einem Beispiel und setze einfach mal ganz unmathematisch voraus, dass das Ergebnis kein Zufall ist.
Es sei n=7 und k=3
Dann ist [mm] \vektor{7 \\ 3-1}+\vektor{7 \\ 3} [/mm] =
= [mm] \vektor{7 \\ 2}+\vektor{7 \\ 3} [/mm] =
= [mm] \bruch{7*6}{1*2}+\bruch{7*6*5}{1*2*3} [/mm] =
= [mm] \bruch{7*6*3}{1*2*3}+\bruch{7*6*5}{1*2*3} [/mm] =
= [mm] \bruch{7*6*3+7*6*5}{1*2*3} [/mm] =
= [mm] \bruch{7*6*(3+5)}{1*2*3} [/mm] =
= [mm] \bruch{7*6*8}{1*2*3} [/mm] =
= [mm] \bruch{8*7*6}{1*2*3} [/mm] =
= [mm] \vektor{8 \\ 3} [/mm] =
= [mm] \vektor{7+1 \\ 3} [/mm]
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Hallo Admir,
Ich nehme mal an, dass ihr allgemeine Definition für:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] genommen habt.
Also heißt die gleichung:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] =
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}
[/mm]
Bei einem Beweis fängst du einfachheitshalber beim komplexeren Seite einer Gleichung bzw. Ungleichung an. Zunächst überlegst du dir, wie du diese beiden Terme zusammenfassen und somit gleichnamig machen kannst:
Da (k-1)! = [mm] \bruch{k!}{k} [/mm] ist und (n-(k-1))! = (n+1-k)! =(n-k)!*(n+1-k) ist, setzt Du diese zerlegten Terme in [mm] \bruch{n!}{(k-1)!(n+1-k)!} [/mm] ein. Daraus folg:
[mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(k-1)!(n+1-k)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!*k}{k!(n-k)!(n+1-k)} [/mm]
(Durch den doppelbruch landet das k als Faktor in den Zähler.)
= [mm] \bruch{n!(n+1-k)}{k!(n-k)!(n+1-k)} [/mm] + [mm] \bruch{n!*k}{k!(n-k)!(n+1-k)} [/mm]
(Nun hast Du den ersten Term mit (n+1-k) erweitert, sodass die Brüche gleichnamig werden um sie anschließend zusammenzuafassen.)
= [mm] \bruch{n!*k+n!*(n+1-k)}{k!(n-k)!(n+1-k)} [/mm]
= [mm] \bruch{n!*k+n!*(n+1)-n!*k}{k!(n-k)!(n+1-k)} [/mm]
(Jetzt hast du das k ausgeklammert, sodass n!*k-n!*K = 0 ist.)
= [mm] \bruch{n!*(n+1)}{k!(n-k)!(n+1-k)} [/mm]
Als letzten Schritt musst du nur noch alles zusammenfassen:
Da n!*(n+1) = (n+1)! ist und (n-k)!*(n+1-k) = ((n+1)-k)! ist hast du dein Ergebnis : [mm] \bruch{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}. [/mm] Somit hast du gezeigt, dass [mm] \bruch{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] ist. Und nochwas: k!(n-k)! = k!*(n-k)!. Daran soll dein scheitern nicht liegen. :-P
Mfg Aras
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